微分積分例

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

ステップ 1

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3} d x$

ステップ 4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\int \sqrt{5 x (x + 3)} d x$

ステップ 5

平方を完成させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 3$

ステップ 5.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$x$ を移動させます。

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 3$

ステップ 5.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x^{2} + 5 x \cdot 3$

ステップ 5.1.3

$3$ に $5$ をかけます。

$5 x^{2} + 15 x$

ステップ 5.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 5$

$b = 15$

$c = 0$

ステップ 5.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{15}{2 \cdot 5}$

ステップ 5.4.2

$15$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$d = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$5$ を $2 \cdot 5$ で因数分解します。

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

ステップ 5.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

ステップ 5.4.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{2}$

ステップ 5.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 5}$

ステップ 5.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

$15$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 5}$

ステップ 5.5.2.1.2

$4$ に $5$ をかけます。

$e = 0 - \frac{225}{20}$

ステップ 5.5.2.1.3

$225$ と $20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.3.1

$5$ を $225$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{5 (45)}{20}$

ステップ 5.5.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.3.2.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

ステップ 5.5.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

ステップ 5.5.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{45}{4}$

ステップ 5.5.2.2

$0$ から $\frac{45}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{45}{4}$

ステップ 5.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ に代入します。

$\int \sqrt{5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}} d x$

ステップ 6

$u = x + \frac{3}{2}$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = x + \frac{3}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$x + \frac{3}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{2}]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x + \frac{3}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

ステップ 6.1.4

$\frac{3}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{3}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{5 u^{2} - \frac{45}{4}} d u$

ステップ 7

くくりだして簡約します。

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ステップ 7.1

$5$ を $5 u^{2} - \frac{45}{4}$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$5$ を $5 u^{2}$ で因数分解します。

$\int \sqrt{5 (u^{2}) - \frac{45}{4}} d u$

ステップ 7.1.2

$5$ を $- \frac{45}{4}$ で因数分解します。

$\int \sqrt{5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})} d u$

ステップ 7.1.3

$5$ を $5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})$ で因数分解します。

$\int \sqrt{5 (u^{2} - \frac{9}{4})} d u$

ステップ 7.2

$\frac{9}{4}$ を ${(\frac{3}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{5 (u^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})} d u$

ステップ 8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u$ であり、 $b = \frac{3}{2}$ です。

$\int \sqrt{5 (u + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

ステップ 9

$u$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int \sqrt{5 (u \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

ステップ 10

項を簡約します。

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ステップ 10.1

$u$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int \sqrt{5 (\frac{u \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

ステップ 10.2

公分母の分子をまとめます。

$\int \sqrt{5 \frac{u \cdot 2 + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

ステップ 11

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

ステップ 12

$u$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

ステップ 13

項を簡約します。

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ステップ 13.1

$u$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (\frac{u \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

ステップ 13.2

公分母の分子をまとめます。

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{u \cdot 2 - 3}{2}} d u$

ステップ 14

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{2 u - 3}{2}} d u$

ステップ 15

指数をまとめます。

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ステップ 15.1

$5$ と $\frac{2 u + 3}{2}$ をまとめます。

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3)}{2} \cdot \frac{2 u - 3}{2}} d u$

ステップ 15.2

$\frac{5 (2 u + 3)}{2}$ に $\frac{2 u - 3}{2}$ をかけます。

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{2 \cdot 2}} d u$

ステップ 15.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}} d u$

ステップ 16

$\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))$ に書き換えます。

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ステップ 16.1

$5 (2 u + 3) (2 u - 3)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{4}} d u$

ステップ 16.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}} d u$

ステップ 16.3

分数 $\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\int \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))} d u$

ステップ 17

項を簡約します。

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ステップ 17.1

累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{2} \sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)} d u$

ステップ 17.2

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

ステップ 17.3

分配則を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{(5 (2 u) + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

ステップ 17.4

掛け算します。

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ステップ 17.4.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

ステップ 17.4.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 15) (2 u - 3)}}{2} d u$

ステップ 18

分配法則（FOIL法）を使って $(10 u + 15) (2 u - 3)$ を展開します。

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ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u - 3) + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

ステップ 18.2

分配則を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

ステップ 18.3

分配則を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

ステップ 19

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 19.1

各項を簡約します。

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ステップ 19.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u \cdot u + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

ステップ 19.1.2

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

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ステップ 19.1.2.1

$u$ を移動させます。

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 (u \cdot u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

ステップ 19.1.2.2

$u$ に $u$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

ステップ 19.1.3

$10$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

ステップ 19.1.4

$- 3$ に $10$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

ステップ 19.1.5

$2$ に $15$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

ステップ 19.1.6

$15$ に $- 3$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u - 45}}{2} d u$

ステップ 19.2

$- 30 u$ と $30 u$ をたし算します。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 0 - 45}}{2} d u$

ステップ 19.3

$20 u^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 45}}{2} d u$

ステップ 20

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 u^{2} - 45} d u$

ステップ 21

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u = \frac{3}{2} \sec (t)$ とします。次に $d u = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22

項を簡約します。

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ステップ 22.1

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45}$ を簡約します。

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ステップ 22.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1.1

積の法則を $2 \sqrt{5}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.3

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 22.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{1} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.4

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.5

$\frac{3}{2}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1.6.1

積の法則を $\frac{3 \sec (t)}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.6.2

積の法則を $3 \sec (t)$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.7

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.8

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.9

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1.9.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 (5) \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.9.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{5 (9 \sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.1.10

$9$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.2

$45$ を $45 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.3

$45$ を $- 45$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.4

$45$ を $45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t) - 1)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.6

$45 \tan^{2} (t)$ を ${(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.6.1

$9$ を $45$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{9 (5) \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.6.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \cdot 5 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.6.3

$5$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.6.4

$3^{2} \tan^{2} (t)$ を ${(3 \tan (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \int 3 \tan (t) \sqrt{5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 22.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1

$\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{3 \sec (t) \tan (t) \cdot 3}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

ステップ 22.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

ステップ 22.2.3

$\frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} \sqrt{5} d t$

ステップ 22.2.4

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} \sqrt{5} d t$

ステップ 22.2.5

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

ステップ 22.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} \sqrt{5} d t$

ステップ 22.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

ステップ 22.2.8

$\frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ と $\sqrt{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

ステップ 23

$\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{9 \sqrt{5}}{2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

ステップ 24

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

$\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{2 \cdot 2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 24.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 25

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 26

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 27

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

分配則を当てはめます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \cdot - 1 + \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 27.2

各項を簡約します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

ステップ 28

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 29

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 30

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 31

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 32

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

ステップ 33

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

ステップ 34

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 35

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 36

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 36.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 36.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

ステップ 37

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

ステップ 38

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 38.1

累乗法を積に書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 38.2

分配則を当てはめます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 38.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 39

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

ステップ 40

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 41

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 42

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 43

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

ステップ 44

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

ステップ 45

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 46

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 47

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 48

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 49

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 49.1

分配則を当てはめます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 49.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 50

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

ステップ 51

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

ステップ 52

簡約します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

ステップ 53

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 53.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

ステップ 53.2

$- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ と $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ をたし算します。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

ステップ 53.3

$\frac{9 \sqrt{5}}{4}$ に $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ をかけます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 53.4

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

ステップ 54

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 54.1

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{2 u}{3})$ で置き換えます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 54.2

$u$ のすべての発生を $x + \frac{3}{2}$ で置き換えます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 55

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 55.1

分配則を当てはめます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 55.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 55.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 55.2.2

式を書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 55.3

分配則を当てはめます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 55.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 55.4.1

共通因数を約分します。

ステップ 55.4.2

式を書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 55.5

分配則を当てはめます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 55.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 55.6.1

共通因数を約分します。

ステップ 55.6.2

式を書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 55.7

分配則を当てはめます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 55.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 55.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 55.8.2

式を書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) |))}{8} + C$

ステップ 56

項を並べ替えます。

$\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

ステップ 57

答えは関数 $f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

微分積分 例

微分積分例