微分積分例

$3^{x + 1} d x$

ステップ 1

$3^{x + 1} d x$ を関数で書きます。

$f (x) = 3^{x + 1} d x$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 3^{x + 1} d x d x$

ステップ 4

$d$ は $x$ に対して定数なので、 $d$ を積分の外に移動させます。

$d \int 3^{x + 1} x d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = 3^{x + 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$d (x (\frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1}) - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{\ln (3)}$ と $3^{x + 1}$ をまとめます。

$d (x \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{3^{x + 1}}{\ln (3)}$ をまとめます。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

ステップ 6.3

$\frac{1}{\ln (3)}$ と $3^{x + 1}$ をまとめます。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} d x)$

ステップ 7

$\frac{1}{\ln (3)}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{\ln (3)}$ を積分の外に移動させます。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{x + 1} d x))$

ステップ 8

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 8.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{u} d u)$

ステップ 9

$3^{u}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ です。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ を $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$ に書き換えます。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ を掛けます。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3)}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

ステップ 10.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\ln^{2} (3)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 10.2.2.1

$\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ に $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ をかけます。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

ステップ 10.2.2.2

$\ln (3)$ を $1$ 乗します。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

ステップ 10.2.2.3

$\ln (3)$ を $1$ 乗します。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

ステップ 10.2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{{\ln (3)}^{1 + 1}} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

ステップ 10.2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{2} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

ステップ 10.2.3

公分母の分子をまとめます。

$d \frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

ステップ 10.2.4

$d$ と $\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)}$ をまとめます。

$\frac{d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u})}{\ln^{2} (3)} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = 3^{x + 1} d x$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$

微分積分 例

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