微分積分例

$\frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 1

$\frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{27}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{27}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{27} \int {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 x^{2} + 6)}^{3}} d x$

ステップ 6

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t)$ とします。次に $d x = \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3}$ は正であることに注意します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6} \tan (t)}{3})}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{6} \tan (t)}{3}$ に当てはめます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.2.2

積の法則を $\sqrt{6} \tan (t)$ に当てはめます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.3

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{1} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{9} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.5

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{9} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.6

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{1})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.1.6.5

指数を求めます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6)}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.2

$6$ を $6 \tan^{2} (t) + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$6$ を $6 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t)) + 6)}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.2.2

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.2.3

$6$ を $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t) + 1))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.4

積の法則を $6 \sec^{2} (t)$ に当てはめます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{3} {(\sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.5

$6$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 {(\sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.6

${(\sec^{2} (t))}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 {\sec (t)}^{2 \cdot 3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.7

$216 \sec^{6} (t)$ を ${(6 \sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.7.1

$36$ を $216$ で因数分解します。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{36 (6) \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.7.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} \cdot 6 \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.7.3

$\sec^{6} (t)$ を ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} \cdot 6 {(\sec^{3} (t))}^{2}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.7.4

$6$ を移動させます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} {(\sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.7.5

$6^{2} {(\sec^{3} (t))}^{2}$ を ${(6 \sec^{3} (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{27} \int 6 \sec^{3} (t) \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6}{3} \sec^{3} (t) \sqrt{6} d t$

ステップ 7.2.2

$\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6}{3}$ と $\sec^{3} (t)$ をまとめます。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6 \sec^{3} (t)}{3} \sqrt{6} d t$

ステップ 7.2.3

指数を足して $\sec^{2} (t)$ に $\sec^{3} (t)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$\sec^{3} (t)$ を移動させます。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} (\sec^{3} (t) \sec^{2} (t)) \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

ステップ 7.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} {\sec (t)}^{3 + 2} \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

ステップ 7.2.3.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

ステップ 7.2.4

$\frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6}{3}$ と $\sqrt{6}$ をまとめます。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6 \sqrt{6}}{3} d t$

ステップ 7.2.5

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}{3} d t$

ステップ 7.2.6

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}{3} d t$

ステップ 7.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3} d t$

ステップ 7.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 {\sqrt{6}}^{2}}{3} d t$

ステップ 7.2.9

$6$ を $\sec^{5} (t)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \cdot \sec^{5} (t) {\sqrt{6}}^{2}}{3} d t$

ステップ 7.2.10

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} d t$

ステップ 7.2.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} d t$

ステップ 7.2.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} d t$

ステップ 7.2.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.10.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} d t$

ステップ 7.2.10.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{1}}{3} d t$

ステップ 7.2.10.5

指数を求めます。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6}{3} d t$

ステップ 7.2.11

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{27} \int \frac{36 \sec^{5} (t)}{3} d t$

ステップ 7.2.12

$36$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.12.1

$3$ を $36 \sec^{5} (t)$ で因数分解します。

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3} d t$

ステップ 7.2.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.12.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3 (1)} d t$

ステップ 7.2.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3 \cdot 1} d t$

ステップ 7.2.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{27} \int \frac{12 \sec^{5} (t)}{1} d t$

ステップ 7.2.12.2.4

$12 \sec^{5} (t)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{27} \int 12 \sec^{5} (t) d t$

ステップ 8

$12$ は $t$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{27} (12 \int \sec^{5} (t) d t)$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$12$ と $\frac{1}{27}$ をまとめます。

$\frac{12}{27} \int \sec^{5} (t) d t$

ステップ 9.2

$12$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3 (4)}{27} \int \sec^{5} (t) d t$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 9} \int \sec^{5} (t) d t$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 9} \int \sec^{5} (t) d t$

ステップ 9.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{9} \int \sec^{5} (t) d t$

ステップ 10

換算公式を当てはめます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 11

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 12

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t))$

ステップ 13

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t))$

ステップ 14

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t))$

ステップ 15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t))$

ステップ 16

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t))$

ステップ 16.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t))$

ステップ 17

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t))$

ステップ 18

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

累乗法を積に書き換えます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t))$

ステップ 18.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t))$

ステップ 18.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t))$

ステップ 19

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t))$

ステップ 20

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t))$

ステップ 21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t))$

ステップ 22

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t))$

ステップ 23

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t))$

ステップ 24

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t))$

ステップ 25

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 26

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)))$

ステップ 27

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)))$

ステップ 28

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)))$

ステップ 29

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 29.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 30

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C))$

ステップ 31

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C))$

ステップ 32

簡約します。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

ステップ 33

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 33.1

$\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

ステップ 33.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 33.2.1

$\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

ステップ 33.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2}{8} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

ステップ 33.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2 + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

ステップ 33.4

$2$ を $\tan (t) \sec^{3} (t)$ の左に移動させます。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 \cdot (\tan (t) \sec^{3} (t)) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

ステップ 33.5

$\frac{4}{9}$ に $\frac{2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}$ をかけます。

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{9 \cdot 8} + C$

ステップ 33.6

$9$ に $8$ をかけます。

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{72} + C$

ステップ 33.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 33.7.1

$4$ を $72$ で因数分解します。

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{4 \cdot 18} + C$

ステップ 33.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{4 \cdot 18} + C$

ステップ 33.7.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{18} + C$

ステップ 34

$t$ のすべての発生を $\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})$ で置き換えます。

$\frac{2 \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) \sec^{3} (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) |))}{18} + C$

ステップ 35

項を並べ替えます。

$\frac{1}{18} (2 \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \sec^{3} (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) |))) + C$

ステップ 36

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{18} (2 \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \sec^{3} (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) |))) + C$

微分積分 例

微分積分例