微分積分例

$\frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$

ステップ 1

$\frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3 x^{2}} d x$

ステップ 5

$u = \sqrt{3 x^{2}}$ とします。次に $d u = \sqrt{3} d x$ すると、 $\frac{1}{\sqrt{3}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = \sqrt{3 x^{2}}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$\sqrt{3 x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$ を $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$ に書き換えます。

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ステップ 5.1.2.1

$3$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3}]$

ステップ 5.1.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$

ステップ 5.1.3

$\sqrt{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x \sqrt{3}$ の微分係数は $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sqrt{3} \cdot 1$

ステップ 5.1.5

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{3}$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int u \frac{1}{\sqrt{3}} d u$

ステップ 6

$u$ と $\frac{1}{\sqrt{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{u}{\sqrt{3}} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{3}} \int u d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3} \cdot 2} \int u d u$

ステップ 8.2

$2$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \int u d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ を $\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{6} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

ステップ 10.2.2

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{u^{2}}{2} + C$

ステップ 10.2.3

$\frac{\sqrt{3}}{6}$ に $\frac{u^{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{6 \cdot 2} + C$

ステップ 10.2.4

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{12} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $\sqrt{3 x^{2}}$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt{3} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2}}{12} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{3}}{12} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{\sqrt{3}}{12} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2} + C$

微分積分 例

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