微分積分例

$e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

ステップ 1

$e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3 d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{x} (- x^{3} + 3 x) d x + \int - 3 d x$

ステップ 5

$u = - x^{3} + 3 x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - \int e^{x} (- 3 x^{2} + 3) d x + \int - 3 d x$

ステップ 6

$u = - 3 x^{2} + 3$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - \int e^{x} (- 6 x) d x) + \int - 3 d x$

ステップ 7

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $- 6$ を積分の外に移動させます。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - (- 6 \int e^{x} (x) d x)) + \int - 3 d x$

ステップ 8

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 \int e^{x} (x) d x) + \int - 3 d x$

ステップ 9

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - \int e^{x} d x)) + \int - 3 d x$

ステップ 10

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) + \int - 3 d x$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) - 3 x + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$- x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

ステップ 12.2

$3 x e^{x}$ から $6 x e^{x}$ を引きます。

$- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

微分積分 例