微分積分例

$(x - 4) \sqrt{x + 4}$

ステップ 1

$(x - 4) \sqrt{x + 4}$ を関数で書きます。

$f (x) = (x - 4) \sqrt{x + 4}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int (x - 4) \sqrt{x + 4} d x$

ステップ 4

$u = x - 4$ と $d v = \sqrt{x + 4}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x - 4) (\frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{2}{3}$ と ${(x + 4)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x + 4)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

ステップ 6

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 7

$u = x + 4$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = x + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 7.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ を $\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 9.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 9.2.3

$\frac{2}{5}$ と $u^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 9.2.4

$\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 3} + C$

ステップ 9.2.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

ステップ 9.2.6

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {(x + 4)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} (x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(x + 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = (x - 4) \sqrt{x + 4}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} (x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(x + 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

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