微分積分例

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

ステップ 1

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ を $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ に書き換えます。

$\int (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$\sec (x) \sec (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 4.3.1.1.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 4.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 4.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 4.3.1.2

$\tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

ステップ 4.3.1.2.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

ステップ 4.3.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 4.3.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

ステップ 4.3.2

$\tan (x) \sec (x)$ の因数を並べ替えます。

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

ステップ 4.3.3

$\sec (x) \tan (x)$ と $\sec (x) \tan (x)$ をたし算します。

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

ステップ 6

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$\tan (x) + C + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\tan (x) + C + 2 \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

ステップ 8

$\sec (x)$ の微分係数が $\sec (x) \tan (x)$ なので、 $\sec (x) \tan (x)$ の積分は $\sec (x)$ です。

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

ステップ 9

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 12

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \tan (x) + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\tan (x)$ と $\tan (x)$ をたし算します。

$C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + 2 \tan (x) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

$2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$

微分積分 例

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