微分積分例

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

ステップ 4.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} - x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.2.1

$1$ を掛けます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

ステップ 4.1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- x$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

ステップ 4.1.2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 4.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 4.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 4.3.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

ステップ 4.3.5.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 5

$x^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 6

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 6.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

ステップ 6.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

ステップ 6.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 7.2

$x^{- \frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 7.3

負をくくり出します。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

ステップ 7.5

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

ステップ 7.6

$1$ から $3$ を引きます。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

ステップ 7.7

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

ステップ 7.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

ステップ 7.7.2.2

共通因数を約分します。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

ステップ 7.7.2.3

式を書き換えます。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

ステップ 7.7.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

ステップ 7.8

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $- x^{- 1}$ を並べ替えます。

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 10

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{- \frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ です。

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 12.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

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