微分積分例

$\frac{\ln (x)}{x^{5}}$

ステップ 1

$\frac{\ln (x)}{x^{5}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{\ln (x)}{x^{5}} d x$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int \ln (x) {(x^{5})}^{- 1} d x$

ステップ 4.2

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \ln (x) x^{5 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\int \ln (x) x^{- 5} d x$

ステップ 5

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{- 5}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (- \frac{1}{4 x^{4}}) - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{4 x^{4}}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{4 x^{4}}$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{x (4 x^{4})} d x$

ステップ 6.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 (x^{1} x^{4})} d x$

ステップ 6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{1 + 4}} d x$

ステップ 6.5

$1$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{5}} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - - \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + 1 \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

ステップ 8.2

$\int \frac{1}{4 x^{5}} d x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

ステップ 9

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 10

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 10.1

$x^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

ステップ 10.2

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

ステップ 10.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{- 5}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ です。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

ステップ 12

答えを簡約します。

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ステップ 12.1

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$ を $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{x^{4} \cdot 4}) + C$

ステップ 12.2.2

$4$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4 \cdot x^{4}}) + C$

ステップ 12.2.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4 x^{4}}$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{4 (4 x^{4})} + C$

ステップ 12.2.4

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$

微分積分 例

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