微分積分例

$\sqrt{4 x^{2} + 5}$

ステップ 1

$\sqrt{4 x^{2} + 5}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 5}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{4 x^{2} + 5} d x$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t)$ とします。次に $d x = \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$\frac{\sqrt{5}}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int \sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{2})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int \sqrt{4 \frac{{(\sqrt{5} \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.2.2

積の法則を $\sqrt{5} \tan (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{4 \frac{{\sqrt{5}}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.3

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{4 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{4 \frac{5^{1} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.3.5

指数を求めます。

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.6.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{1}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.6.5

指数を求めます。

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.2

$5$ を $5 \tan^{2} (t) + 5$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.2.1

$5$ を $5 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.2.2

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.2.3

$5$ を $5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t) + 1)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{5 \sec^{2} (t)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.4

$5$ と $\sec^{2} (t)$ を並べ替えます。

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\int \sec (t) \sqrt{5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t) \sec (t)}{2} \sqrt{5} d t$

ステップ 5.2.2

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{\sqrt{5} (\sec^{1} (t) \sec^{2} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

ステップ 5.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{\sqrt{5} {\sec (t)}^{1 + 2}}{2} \sqrt{5} d t$

ステップ 5.2.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

ステップ 5.2.5

$\frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2}$ と $\sqrt{5}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

ステップ 5.2.6

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.7

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.10

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.10.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{5^{1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.10.5

指数を求めます。

$\int \frac{5 \sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 6

$\frac{5}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{5}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 7

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$\frac{5}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 8

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

ステップ 9

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

ステップ 10

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 12.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

ステップ 13

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

ステップ 14

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 14.1

累乗法を積に書き換えます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 14.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 15

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

ステップ 16

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 18

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 19

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

ステップ 20

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

ステップ 21

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 22

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 23

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 24

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 25

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 25.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 25.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 26

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$\frac{5}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

ステップ 27

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

ステップ 28

簡約します。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 29

簡約します。

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ステップ 29.1

$\frac{5}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{5}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 29.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 30

$t$ のすべての発生を $\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})$ で置き換えます。

$\frac{5}{4} (\sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31

簡約します。

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ステップ 31.1

各項を簡約します。

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ステップ 31.1.1

交点 $(1, \frac{2 x}{\sqrt{5}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \frac{2 x}{\sqrt{5}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}}))$ は $\sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}}$ です。

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 31.1.2.1

積の法則を $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ に当てはめます。

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{{(2 x)}^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.2.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.4

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{2}{2}}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{2}{2}}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{1}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.4.5

指数を求めます。

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{5}{4} (\sqrt{\frac{5}{5} + \frac{4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{4} (\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.7

$\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}}$ を $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.8

関数の正切と逆正切は逆です。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.9

まとめる。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} (2 x)}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.10

分母を簡約します。

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ステップ 31.1.10.1

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.10.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.10.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.11

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.11.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.11.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{2}{2}}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.11.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.11.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{2}{2}}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.11.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.11.5

指数を求めます。

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.12

$2$ を $\sqrt{5 + 4 x^{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \cdot \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.1

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.2

$\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.3.1

$\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.4.1

積の法則を $\frac{2 x \sqrt{5}}{5}$ に当てはめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{{(2 x \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.4.2

積の法則を $2 x \sqrt{5}$ に当てはめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{{(2 x)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.4.3

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{2^{2} x^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.5.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.5.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.5.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.5.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.5.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{1}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.5.2.5

指数を求めます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.5.3

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{20 x^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.6

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{20 x^{2}}{25}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.7

$20$ と $25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.7.1

$5$ を $20 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{25}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.7.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{5 (5)}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{5 \cdot 5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{\frac{5}{5} + \frac{4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.10

$\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}}$ を $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.11

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.12.1

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.12.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.12.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.12.6.5

指数を求めます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.13

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

ステップ 31.1.13.14

関数の正切と逆正切は逆です。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x}{\sqrt{5}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.15

$\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.16.1

$\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.16.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.13.16.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{1}} |)) + C$

ステップ 31.1.13.16.6.5

指数を求めます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

ステップ 31.1.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5} + 2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

ステップ 31.1.15

$\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5} + 2 x \sqrt{5}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

ステップ 31.1.16

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

ステップ 31.2

$\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot \frac{5}{5}) + C$

ステップ 31.3

$\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot 5}{5}) + C$

ステップ 31.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot 5}{5} + C$

ステップ 31.5

$5$ を $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ の左に移動させます。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{5} + C$

ステップ 31.6

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{5} + C$

ステップ 31.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

ステップ 31.7

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

ステップ 31.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.8.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

ステップ 31.8.2

$2$ を $2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

ステップ 31.8.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

ステップ 31.8.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

ステップ 31.9

$\sqrt{5 + 4 x^{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

ステップ 31.10

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

ステップ 31.11

$\frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.11.1

$5$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{5}{4} \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) + C$

ステップ 31.11.2

$\frac{5}{4}$ と $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

ステップ 31.12

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

ステップ 31.13

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.13.1

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

ステップ 31.13.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

ステップ 31.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

ステップ 31.15

$2$ を $\sqrt{5 + 4 x^{2}} x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

ステップ 32

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{1}{5} | \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |)) + C$

ステップ 33

答えは関数 $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 5}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{1}{5} | \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |)) + C$

微分積分 例

微分積分例