微分積分例

$x {(4 x - 1)}^{4}$

ステップ 1

$x {(4 x - 1)}^{4}$ を関数で書きます。

$f (x) = x {(4 x - 1)}^{4}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x {(4 x - 1)}^{4} d x$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

二項定理を利用します。

$\int x ({(4 x)}^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$\int x (4^{4} x^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.2

$4$ を $4$ 乗します。

$\int x (256 x^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.3

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$\int x (256 x^{4} + 4 (4^{3} x^{3}) \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.4

指数を足して $4$ に $4^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$4^{3}$ を移動させます。

$\int x (256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4 x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.4.2

$4^{3}$ に $4$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

$4$ を $1$ 乗します。

$\int x (256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x (256 x^{4} + 4^{3 + 1} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.4.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$\int x (256 x^{4} + 4^{4} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.5

$4$ を $4$ 乗します。

$\int x (256 x^{4} + 256 x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.6

$- 1$ に $256$ をかけます。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.7

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 (4^{2} x^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.8

$4$ を $2$ 乗します。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 (16 x^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.9

$16$ に $6$ をかけます。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.10

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} \cdot 1 + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.11

$96$ に $1$ をかけます。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.12

$4$ に $4$ をかけます。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 16 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.13

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 16 x \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.14

$- 1$ に $16$ をかけます。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x + {(- 1)}^{4}) d x$

ステップ 4.2.15

$- 1$ を $4$ 乗します。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x + 1) d x$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\int x (256 x^{4}) + x (- 256 x^{3}) + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int 256 x \cdot x^{4} + x (- 256 x^{3}) + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

ステップ 4.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

ステップ 4.4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

ステップ 4.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x \cdot 1 d x$

ステップ 4.4.5

$x$ に $1$ をかけます。

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$x^{4}$ を移動させます。

$\int 256 (x^{4} x) - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.1.2

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 256 (x^{4} x^{1}) - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 256 x^{4 + 1} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.1.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$\int 256 x^{5} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.2

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\int 256 x^{5} - 256 (x^{3} x) + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.2.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 256 x^{5} - 256 (x^{3} x^{1}) + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{3 + 1} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.2.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 (x^{2} x) - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.3.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 (x^{2} x^{1}) - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{2 + 1} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 x \cdot x + x d x$

ステップ 4.5.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.1

$x$ を移動させます。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 (x \cdot x) + x d x$

ステップ 4.5.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 x^{2} + x d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 256 x^{5} d x + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

ステップ 6

$256$ は $x$ に対して定数なので、 $256$ を積分の外に移動させます。

$256 \int x^{5} d x + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{6} x^{6}$ です。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

ステップ 8

$- 256$ は $x$ に対して定数なので、 $- 256$ を積分の外に移動させます。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 \int x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

ステップ 10

$96$ は $x$ に対して定数なので、 $96$ を積分の外に移動させます。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 \int x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

ステップ 12

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $- 16$ を積分の外に移動させます。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 \int x^{2} d x + \int x d x$

ステップ 13

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

ステップ 14

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$\frac{1}{6}$ と $x^{6}$ をまとめます。

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 15.1.2

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 15.1.3

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 15.1.4

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 16 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 15.2

簡約します。

$\frac{128 x^{6}}{3} - \frac{256 x^{5}}{5} + 24 x^{4} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{128}{3} x^{6} - \frac{256}{5} x^{5} + 24 x^{4} - \frac{16}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 17

答えは関数 $f (x) = x {(4 x - 1)}^{4}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{128}{3} x^{6} - \frac{256}{5} x^{5} + 24 x^{4} - \frac{16}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

微分積分 例

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