微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.2

$x$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.9

簡約します。

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ステップ 3.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.9.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.10

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{x}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ に $\frac{1}{e^{x}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{x}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\sqrt{x} e^{x}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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