微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

ステップ 1

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

ステップ 2

値を変数に代入して極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ を $0$ に代入し、 $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ の極限値を求めます。

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

ステップ 2.2

正弦と余弦に関して $\cot (0)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

ステップ 2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

ステップ 2.4

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 3

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

ステップ 4

右側極限を求めます。

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ステップ 4.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

ステップ 4.1.1.2

$x$ 値が $0$ に右から近づくとき、関数の値は境界なく増加します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

ステップ 4.1.1.3

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 4.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 4.1.2

$\frac{\infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 4.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 4.1.3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

ステップ 4.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

ステップ 4.2

$- \csc^{2} (x) x$ を $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.3.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.3.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

ステップ 4.3.1.3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.3.1.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.3.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.3.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.3.3.5

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\csc (x)$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 4.3.3.5.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 4.3.3.5.3

$u$ のすべての発生を $\csc (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 4.3.3.6

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

ステップ 4.3.3.7

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

ステップ 4.3.3.8

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

ステップ 4.3.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

ステップ 4.3.3.10

$1$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

ステップ 4.3.3.11

簡約します。

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ステップ 4.3.3.11.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

ステップ 4.3.3.11.2

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

ステップ 4.3.3.11.3

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 4.3.3.11.4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.11.4.1

$\sin (x)$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 4.3.3.11.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 4.3.3.11.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

ステップ 4.3.3.11.5

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

ステップ 4.3.4

分数を分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ を $\csc (2 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

ステップ 4.3.6

$- 1$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

ステップ 4.4

関数 $\csc (2 x)$ が $\infty$ に近づくので、関数は負の定数 $- 1$ 倍 $- \infty$ に近づきます。

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ステップ 4.4.1

定数の倍数 $- 1$ を削除した極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

ステップ 4.4.2

$x$ 値が $0$ に右から近づくとき、関数の値は境界なく増加します。

$\infty$

ステップ 4.4.3

関数 $\csc (2 x)$ が $\infty$ に近づくので、関数は負の定数 $- 1$ 倍 $- \infty$ に近づきます。

$- \infty$

ステップ 5

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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