微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

ステップ 1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

ステップ 1.3.1.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

ステップ 1.3.1.3

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \ln (\sec (x))$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

ステップ 3.4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

ステップ 3.4.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

ステップ 3.5

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

ステップ 3.6

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

ステップ 3.7

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

ステップ 3.8

括弧を削除します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

ステップ 3.9

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

ステップ 3.10

括弧を削除します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.1.1

括弧を付けます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

ステップ 3.11.1.2

$\cos (x)$ と $\sec (x)$ を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

ステップ 3.11.1.3

正弦と余弦に関して $2 \cos (x) \sec (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

ステップ 3.11.1.4

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

ステップ 3.11.2

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (x)}$

ステップ 3.11.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.11.4

$2$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

ステップ 5

因数をまとめます。

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ステップ 5.1

$2$ と $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

ステップ 5.2

$x$ と $\frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

ステップ 6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

ステップ 6.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7

$\frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$ を $x \cot (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} x \cot (x)$

ステップ 8

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

ステップ 9

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $x \cot (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

ステップ 10

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $x \cot (x)$ の極限は $1$ です。

$1$

ステップ 11

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

ステップ 12

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $x \cot (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

ステップ 13

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $x \cot (x)$ の極限は $1$ です。

$1$

微分積分 例

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