微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

ステップ 1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

ステップ 1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}$

ステップ 1.3.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{\ln (1)}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

ステップ 3.4

$\cos (x^{2}) (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

ステップ 3.5

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

ステップ 3.5.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

ステップ 3.5.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

ステップ 3.6

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}$

ステップ 3.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2}) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 5

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} - 2 x \cos (x^{2}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 5.2

$- 2$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} x \cos (x^{2}) \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 5.3

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x^{2})$

ステップ 5.4

$\frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)}$ と $\cos (x^{2})$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$

ステップ 6

$\frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$ を $- 2 \cos (x) x \cot (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) x \cot (x)$

ステップ 7

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) x \cot (x)$

ステップ 8

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (x) x \cot (x)$

ステップ 9

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\cos (x) x \cot (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99168527 \\ - 0.01 & 0.99991666 \\ - 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

ステップ 10

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\cos (x) x \cot (x)$ の極限は $1$ です。

$1$

ステップ 11

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) x \cot (x)$

ステップ 12

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\cos (x) x \cot (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99168527 \\ 0.01 & 0.99991666 \\ 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

ステップ 13

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\cos (x) x \cot (x)$ の極限は $1$ です。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 14

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

微分積分 例

微分積分例