微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + 1}{lim_{x \to \infty} x - 1}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - 1}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} + 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.6

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.7

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1 + 0}$

ステップ 3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1}$

ステップ 4

$2 x + 2$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} 2 x + 2$

ステップ 5

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

微分積分例