微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

ステップ 1.3

指数 $4 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{4 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

ステップ 3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

ステップ 3.4

$2$ に $6$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{12 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

ステップ 3.5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{12 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 3.5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{12 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 3.5.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{12 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 3.6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{12 x}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{12 x}{e^{4 x} (4 \cdot 1)}$

ステップ 3.8

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{12 x}{e^{4 x} \cdot 4}$

ステップ 3.9

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{12 x}{4 \cdot e^{4 x}}$

ステップ 3.10

$4$ に $e^{4 x}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{12 x}{4 e^{4 x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$12$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$4$ を $12 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (3 x)}{4 e^{4 x}}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1

$4$ を $4 e^{4 x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (3 x)}{4 (e^{4 x})}$

ステップ 4.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (3 x)}{4 e^{4 x}}$

ステップ 4.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{e^{4 x}}$

ステップ 4.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{4 x}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$3 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

ステップ 5.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

ステップ 5.1.3

指数 $4 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{4 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$3 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$3 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

ステップ 5.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

ステップ 5.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 5.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 5.3.3.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 5.3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

ステップ 5.3.6

$4$ に $1$ をかけます。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4}$

ステップ 5.3.7

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{4}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{4 x}}$ は $0$ に近づきます。

$3 (\frac{1}{4}) \cdot 0$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} \cdot 0$

ステップ 8.2

$\frac{3}{4}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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