微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

ステップ 1.3

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\ln (x)$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3.4

$\frac{1}{\ln (x)}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3.5

項を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3.6

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{1}{x}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)} x$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x \ln (x)}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln (x)}$

ステップ 5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln (x)}$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x)}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\ln (x)}$ は $0$ に近づきます。

$0$

微分積分 例

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