微分積分例

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t} + t^{2}}{e^{t} - t}$

ステップ 1

分子と分母を分母の最も速く増大する項で割ります。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{t}}{e^{t}} + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{t}}{e^{t}} + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 2.1.2

式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 2.2

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 2.3

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 2.4

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 2.5

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1 + \frac{lim_{t \to \infty} t^{2}}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 3.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 3.1.3

指数 $t$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{t}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 3.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 4

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1 + 2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 5.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 5.1.3

指数 $t$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{t}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 5.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 5.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 5.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{t}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 1 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 7.2

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}$

ステップ 8

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}$

ステップ 8.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}$

ステップ 8.1.3

指数 $t$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{t}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 8.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 8.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

ステップ 8.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}$

ステップ 8.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}$

ステップ 8.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{t}}}$

ステップ 9

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{t}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - 0}$

ステップ 10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 + 0}{1 - 0}$

ステップ 10.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1 - 0}$

ステップ 10.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{1 + 0}$

ステップ 10.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 10.3

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

微分積分例