微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.4

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.4.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.5.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.5.3

$\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.5.4

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{π}{4}}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づくと定数である $\frac{π}{4}$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\frac{π}{4} - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{0}{\frac{π - π}{4}}$

ステップ 1.3.3.2

$π$ から $π$ を引きます。

$\frac{0}{\frac{0}{4}}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ を $4$ で割ります。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{x - \frac{π}{4}} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $\sin (x) - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x - \frac{π}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.7

$- \frac{π}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{1 + 0}$

ステップ 3.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{1}$

ステップ 4

$\cos (x) + \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)$

ステップ 5

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)$

ステップ 6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)$

ステップ 7

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

ステップ 8

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

ステップ 8.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 9.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

ステップ 9.3

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 9.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 9.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\sqrt{2}$

10進法形式：

$1.41421356 \dots$

微分積分 例

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