微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.4

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.4.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.5.1.2

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.5.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.2.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{π}{4}}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づくと定数である $\frac{π}{4}$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\frac{π}{4} - \frac{π}{4}}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{0}{\frac{π - π}{4}}$

ステップ 1.3.3.2

$π$ から $π$ を引きます。

$\frac{0}{\frac{0}{4}}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ を $4$ で割ります。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $\tan (x) - \cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cot (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.4.2

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - - \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.4.4

$\csc^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x - \frac{π}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

ステップ 3.7

$- \frac{π}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + 0}$

ステップ 3.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1}$

ステップ 4

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

ステップ 5

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

ステップ 6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

${(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

ステップ 7

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\csc^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x))}^{2}$

ステップ 9

余割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

ステップ 10

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

ステップ 10.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.2

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.3.6.5

指数を求めます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.4.1

共通因数を約分します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

${\sqrt{2}}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.5.4.2

式を書き換えます。

$2^{1} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.5.5

指数を求めます。

$2 + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 11.1.6

$\csc (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\sqrt{2}$ です。

$2 + {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 11.1.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 11.1.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 11.1.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 11.1.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 11.1.7.4.2

式を書き換えます。

$2 + 2^{1}$

ステップ 11.1.7.5

指数を求めます。

$2 + 2$

ステップ 11.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$4$

微分積分 例

微分積分例