微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

ステップ 1.2.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

ステップ 1.2.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

ステップ 1.2.2

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\frac{\infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

ステップ 1.2.3.2

無限大掛ける無限大は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x e^{x^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.3

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.10

$e^{x^{2}}$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot 2) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.11

$2$ を $e^{x^{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.13

$e^{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.14.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.14.2.2

括弧を削除します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.14.3

項を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.14.4

$4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

ステップ 3.15

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.16

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{4 (3 x^{2})}$

ステップ 3.17

$3$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{12 x^{2}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.4

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{4 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{4 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

関数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $2$ 倍 $\infty$ に近づきます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

定数の倍数 $2$ を削除した極限を考えます。

$\frac{4 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.2.3.2

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{4 \cdot \infty \cdot \infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.2.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\frac{\infty \cdot \infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.2.4.1.2

無限大掛ける無限大は無限大です。

$\frac{\infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.2.4.2

無限大プラス無限大は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

ステップ 4.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{12 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2} e^{x^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.6.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{1} x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.3.7

$2$ を $e^{x^{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.4

$\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.4.4

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.5.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 8 (e^{x^{2}} (x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.5.2.3

$8 e^{x^{2}} x$ と $4 e^{x^{2}} x$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.5.3

項を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.5.4

$8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

ステップ 4.3.6

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{12 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 4.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{12 (2 x)}$

ステップ 4.3.8

$2$ に $12$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{24 x}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{3} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.1.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 \cdot lim_{x \to \infty} x^{3} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.1.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{8 \cdot lim_{x \to \infty} x^{3} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.1.4

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{8 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.2

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 12 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.3.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $12$ の極限値を求めます。

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + 12 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.3.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + 12 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.4

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + 12 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.5.1.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\frac{\infty \cdot \infty + 12 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.5.1.2

無限大掛ける無限大は無限大です。

$\frac{\infty + 12 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.5.1.3

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\frac{\infty + \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.5.1.4

無限大掛ける無限大は無限大です。

$\frac{\infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.2.5.2

無限大プラス無限大は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

ステップ 5.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{24 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.2

総和則では、 $8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3} e^{x^{2}}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x^{2}}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = e^{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.6

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.6.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.6.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{1} x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{1 + 3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.6.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.3.7

$2$ を $e^{x^{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4

$\frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x e^{x^{2}}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.6

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.7

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.10

$2$ を $e^{x^{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.4.11

$e^{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.5.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.1

$2$ に $8$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 (x^{4} (e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.5.3.2

$3$ に $8$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 (e^{x^{2}} (x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.5.3.3

$2$ に $12$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 e^{x^{2}} x^{2} + 24 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.5.3.4

$24 e^{x^{2}} x^{2}$ と $24 x^{2} e^{x^{2}}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.4.1

$e^{x^{2}}$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.5.3.4.2

$24 x^{2} e^{x^{2}}$ と $24 x^{2} e^{x^{2}}$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.5.4

項を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.5.5

$16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

ステップ 5.3.6

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{24 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{24 \cdot 1}$

ステップ 5.3.8

$24$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{24}$

ステップ 6

関数 $16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $\frac{1}{24}$ 倍 $\infty$ に近づきます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

定数の倍数 $\frac{1}{24}$ を削除した極限を考えます。

$lim_{x \to \infty} 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

ステップ 6.2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to \infty} 16 x^{4} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

ステップ 6.2.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to \infty} 16 \cdot lim_{x \to \infty} x^{4} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

ステップ 6.2.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$16 \cdot lim_{x \to \infty} x^{4} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

ステップ 6.2.4

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$16 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

ステップ 6.3

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$16 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

ステップ 6.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$16 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 48 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

ステップ 6.4.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $48$ の極限値を求めます。

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

ステップ 6.4.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

ステップ 6.5

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

ステップ 6.6

関数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $12$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 6.6.1

定数の倍数 $12$ を削除した極限を考えます。

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}$

ステップ 6.6.2

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + \infty$

ステップ 6.7

答えを簡約します。

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ステップ 6.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.7.1.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + \infty$

ステップ 6.7.1.2

無限大掛ける無限大は無限大です。

$\infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + \infty$

ステップ 6.7.1.3

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\infty + \infty \cdot \infty + \infty$

ステップ 6.7.1.4

無限大掛ける無限大は無限大です。

$\infty + \infty + \infty$

ステップ 6.7.2

無限大プラス無限大は無限大です。

$\infty + \infty$

ステップ 6.7.3

無限大プラス無限大は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

微分積分例