微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1} \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1} \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.5.2

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.5.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.5

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.6

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.7

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.7.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 3.7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.7.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.7.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.7.4

$2$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.8

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.11

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.12

分子を簡約します。

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ステップ 3.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.13

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.14

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.15

$\ln (x)$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 3.17

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.18

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.19

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

ステップ 3.20

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4

分数指数を根に変換します。

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ステップ 4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

ステップ 4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

ステップ 5

項をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

ステップ 5.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sqrt{x} \cdot 2$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{\sqrt{x} \cdot 2} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

ステップ 5.2.2

$2$ を $\sqrt{x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{x}$

ステップ 7

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{2 + \ln (x)}{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 9

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 10

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 11

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 12

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 13

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 14

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 14.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 14.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 14.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}}{1}$

ステップ 15

答えを簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}})$

ステップ 15.2

分子を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 0}{\sqrt{1}})$

ステップ 15.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}})$

ステップ 15.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1})$

ステップ 15.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1})$

ステップ 15.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 15.5

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

微分積分 例

微分積分例