微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{11 x^{2}}{\cos (x) - 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 11 x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$11$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{11 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{11 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{11 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{11 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.2.3.2

$11$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.3.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{11 x^{2}}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 3.2

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $11 x^{2}$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{11 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{11 (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 3.4

$2$ に $11$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{22 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $\cos (x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{22 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.6

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{22 x}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{22 x}{- \sin (x) + 0}$

ステップ 3.8

$- \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{22 x}{- \sin (x)}$

ステップ 4

$22$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$22 lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$22 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

ステップ 5.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$22 \frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

ステップ 5.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$22 \frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.3.1.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$22 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$22 \frac{0}{- \sin (0)}$

ステップ 5.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.3.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$22 \frac{0}{- 0}$

ステップ 5.1.3.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$22 (\frac{0}{0})$

ステップ 5.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$22 (\frac{0}{0})$

ステップ 5.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$22 (\frac{0}{0})$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$22 (\frac{0}{0})$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$22 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 5.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$22 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$22 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$22 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \cos (x)}$

ステップ 5.4

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$22 lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (x)}$

ステップ 5.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$22 lim_{x \to 0} - \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$22 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 6.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$22 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 6.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$22 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 6.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$22 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 7

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$22 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$22$ に $- 1$ をかけます。

$- 22 \frac{1}{\cos (0)}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{\cos (0)}$ を $\sec (0)$ に変換します。

$- 22 \sec (0)$

ステップ 8.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 22 \cdot 1$

ステップ 8.4

$- 22$ に $1$ をかけます。

$- 22$

微分積分 例

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