微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{h}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π}{2} - h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\frac{π}{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $0$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.7

項を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + 0) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.7.2

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.1.1

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.7.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.2.7.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $\cos (\frac{π}{2} - h) - 0$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)] + \frac{d}{d h} [- 0]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (h) = \cos (h)$ および $g (h) = \frac{π}{2} - h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π}{2} - h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{π}{2} - h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $\frac{π}{2} - h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d h} [- h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (\frac{d}{d h} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{π}{2}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $\frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- h$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3.7

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{1 \sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.3.9

$\sin (\frac{π}{2} - h)$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d h} [- 0]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.4.2

$0$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.5

$\sin (\frac{π}{2} - h)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h)}{1}$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$- h$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h \cdot \frac{2}{2})}{1}$

ステップ 4.2

$- h$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} + \frac{- h \cdot 2}{2})}{1}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})}{1}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} \sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})$

ステップ 5.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\sin (lim_{h \to 0} \frac{π - h \cdot 2}{2})$

ステップ 5.3

$\frac{1}{2}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sin (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π - h \cdot 2)$

ステップ 5.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sin (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π - lim_{h \to 0} h \cdot 2))$

ステップ 5.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$\sin (\frac{1}{2} (π - lim_{h \to 0} h \cdot 2))$

ステップ 5.6

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 lim_{h \to 0} h)))$

ステップ 6

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 \cdot 0)))$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$- (2 \cdot 0)$ を掛けます。

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ステップ 7.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\sin (\frac{1}{2} (π - 0))$

ステップ 7.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\sin (\frac{1}{2} (π + 0))$

ステップ 7.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$\sin (\frac{1}{2} π)$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ と $π$ をまとめます。

$\sin (\frac{π}{2})$

ステップ 7.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$1$

微分積分 例

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