微分積分例

$f (x) = - \frac{32 x}{x^{2} + 16}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$- 32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{32 x}{x^{2} + 16}$ の微分係数は $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ です。

$- 32 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 32 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 32 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x^{2} + 16$ に $1$ をかけます。

$- 32 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

総和則では、 $x^{2} + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$- 32 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 32 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$- 32 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 32 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 32 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- 32 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$- 32 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 32 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 32 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$- 32 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.9

$- 32$ と $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 32 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{32 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.11

簡約します。

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ステップ 1.1.11.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{32 (- x^{2}) + 32 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.11.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.11.2.1

$- 1$ に $32$ をかけます。

$- \frac{- 32 x^{2} + 32 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.11.2.2

$32$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{- 32 x^{2} + 512}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{- 32 x^{2} + 512}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ です。

$- \frac{- 32 x^{2} + 512}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{- 32 x^{2} + 512}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{- 32 x^{2} + 512}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- 32 x^{2} + 512 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $512$ を引きます。

$- 32 x^{2} = - 512$

ステップ 2.3.2

$- 32 x^{2} = - 512$ の各項を $- 32$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 32 x^{2} = - 512$ の各項を $- 32$ で割ります。

$\frac{- 32 x^{2}}{- 32} = \frac{- 512}{- 32}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- 32$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 32 x^{2}}{- 32} = \frac{- 512}{- 32}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 512}{- 32}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$- 512$ を $- 32$ で割ります。

$x^{2} = 16$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{16}$

ステップ 2.3.4

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

ステップ 2.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- \frac{32 x}{x^{2} + 16}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$- \frac{32 (4)}{{(4)}^{2} + 16}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$32$ に $4$ をかけます。

$- \frac{128}{4^{2} + 16}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{128}{16 + 16}$

ステップ 4.1.2.2.2

$16$ と $16$ をたし算します。

$- \frac{128}{32}$

ステップ 4.1.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$128$ を $32$ で割ります。

$- 1 \cdot 4$

ステップ 4.1.2.3.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4$

ステップ 4.2

$x = - 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

$- \frac{32 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 16}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$32$ に $- 4$ をかけます。

$- \frac{- 128}{{(- 4)}^{2} + 16}$

ステップ 4.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{- 128}{16 + 16}$

ステップ 4.2.2.2.2

$16$ と $16$ をたし算します。

$- \frac{- 128}{32}$

ステップ 4.2.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

$- 128$ を $32$ で割ります。

$- - 4$

ステップ 4.2.2.3.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$4$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(4, - 4), (- 4, 4)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例