微分積分例

$f (x) = 5 - | x - 5 |$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $5 - | x - 5 |$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$ です。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$

ステップ 1.1.1.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- | x - 5 |$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [| x - 5 |]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [| x - 5 |]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 5])$

ステップ 1.1.2.2.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 5])$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} \frac{d}{d x} [x - 5])$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

ステップ 1.1.2.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (1 + 0))$

ステップ 1.1.2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} \cdot 1)$

ステップ 1.1.2.7

$\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ に $1$ をかけます。

$0 - \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

ステップ 1.1.3

$0$ から $\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ を引きます。

$f' (x) = - \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x - 5}{| x - 5 |}$ です。

$- \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x - 5}{| x - 5 |} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x - 5}{| x - 5 |} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| x - 5 | = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x - 5 = \pm 0$

ステップ 3.2.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x - 5 = 0$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $5 - | x - 5 |$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 5$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$5$ を $x$ に代入します。

$5 - | (5) - 5 |$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$5$ から $5$ を引きます。

$5 - | 0 |$

ステップ 4.1.2.1.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$5 - 0$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$5 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$5$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(5, 5)$

ステップ 5

微分積分 例

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