微分積分例

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ を ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 2 - x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 - x^{3}$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 - x^{3}$ で置き換えます。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $2 - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

ステップ 1.1.2.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

ステップ 1.1.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.1.2.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

ステップ 1.1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

ステップ 1.1.2.8

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

ステップ 1.1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

ステップ 1.1.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

ステップ 1.1.2.10.2

$1$ から $3$ を引きます。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

ステップ 1.1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

ステップ 1.1.2.12

$3$ に $- 1$ をかけます。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

ステップ 1.1.2.13

$0$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

ステップ 1.1.2.14

$\frac{1}{3}$ と ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

ステップ 1.1.2.15

$- 3$ と $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

ステップ 1.1.2.16

$\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

ステップ 1.1.2.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.2.18

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.2.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.19.1

$3$ を $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 1.1.2.19.2

共通因数を約分します。

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.2.19.3

式を書き換えます。

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.2.20

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ です。

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

ステップ 3.2

$\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ を ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$2 - x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$2 - x^{3} = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x^{3} = - 2$

ステップ 3.3.3.2.2

$- x^{3} = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

$- x^{3} = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x^{3} = 2$

ステップ 3.3.3.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{2}$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$(1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

ステップ 4.1.2.1.3

$2$ から $1$ を引きます。

$1 + \sqrt[3]{1}$

ステップ 4.1.2.1.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$1 + 1$

ステップ 4.1.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2$

ステップ 4.2

$x = \sqrt[3]{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\sqrt[3]{2}$ を $x$ に代入します。

$(\sqrt[3]{2}) + \sqrt[3]{2 - {(\sqrt[3]{2})}^{3}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2}$ を $2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 4.2.2.1.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{1}}$

ステップ 4.2.2.1.1.5

指数を求めます。

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2}$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}$

ステップ 4.2.2.1.4

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 4.2.2.1.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sqrt[3]{2} + 0$

ステップ 4.2.2.2

$\sqrt[3]{2}$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt[3]{2}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, 2), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例