微分積分例

$f (x) = | 3 x - 1 |$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = | x |$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{3 x - 1}{| 3 x - 1 |} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{3 x - 1}{| 3 x - 1 |} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.1.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 x - 1}{| 3 x - 1 |} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x - 1}{| 3 x - 1 |} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.1.2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x - 1}{| 3 x - 1 |} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 x - 1}{| 3 x - 1 |} (3 + 0)$

ステップ 1.1.2.6

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.2.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x - 1}{| 3 x - 1 |} \cdot 3$

ステップ 1.1.2.6.2

$\frac{3 x - 1}{| 3 x - 1 |}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{(3 x - 1) \cdot 3}{| 3 x - 1 |}$

ステップ 1.1.2.6.3

$3$ を $3 x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (3 x - 1)}{| 3 x - 1 |}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1}{| 3 x - 1 |}$

ステップ 1.1.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9 x + 3 \cdot - 1}{| 3 x - 1 |}$

ステップ 1.1.3.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9 x - 3}{| 3 x - 1 |}$

ステップ 1.1.3.3

$3$ を $9 x - 3$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$3$ を $9 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 x) - 3}{| 3 x - 1 |}$

ステップ 1.1.3.3.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 x) + 3 (- 1)}{| 3 x - 1 |}$

ステップ 1.1.3.3.3

$3$ を $3 (3 x) + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (3 x - 1)}{| 3 x - 1 |}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 (3 x - 1)}{| 3 x - 1 |}$ です。

$\frac{3 (3 x - 1)}{| 3 x - 1 |}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 (3 x - 1)}{| 3 x - 1 |} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 (3 x - 1)}{| 3 x - 1 |} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$3 (3 x - 1) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$3 (3 x - 1) = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$3 (3 x - 1) = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (3 x - 1)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (3 x - 1)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$3 x - 1$ を $1$ で割ります。

$3 x - 1 = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 2.3.3

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{3 (3 x - 1)}{| 3 x - 1 |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| 3 x - 1 | = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$3 x - 1 = \pm 0$

ステップ 3.2.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 3.2.4

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $| 3 x - 1 |$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{1}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{3}$ を $x$ に代入します。

$| 3 (\frac{1}{3}) - 1 |$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$| 3 (\frac{1}{3}) - 1 |$

ステップ 4.1.2.1.2

式を書き換えます。

$| 1 - 1 |$

ステップ 4.1.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$| 0 |$

ステップ 4.1.2.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{3}, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例