微分積分例

$f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{5}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

ステップ 1.1.3

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 1.1.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} (5 x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 1.1.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.5.2.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$3 \frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 1.1.5.2.2

$3$ と $\frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$ をまとめます。

$\frac{3 (x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (x^{5} e^{x}) + 3 (- 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 1.1.6.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.2.1

$- 5$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 1.1.6.2.2

$3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 x^{4} e^{x}}{x^{10}}$

ステップ 1.1.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 1.1.6.4

$3 e^{x} x^{4}$ を $3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.6.4.1

$3 e^{x} x^{4}$ を $3 e^{x} x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 1.1.6.4.2

$3 e^{x} x^{4}$ を $- 15 e^{x} x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

ステップ 1.1.6.4.3

$3 e^{x} x^{4}$ を $3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x - 5)}{x^{10}}$

ステップ 1.1.6.5

$x^{4}$ と $x^{10}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.5.1

$x^{4}$ を $3 e^{x} x^{4} (x - 5)$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{10}}$

ステップ 1.1.6.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.5.2.1

$x^{4}$ を $x^{10}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 1.1.6.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 1.1.6.5.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ です。

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$3 e^{x} (x - 5) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3.2

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.3.2.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.3.2.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.3.3

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.3.4

最終解は $3 e^{x} (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{6} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt[6]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{6}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 5$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$5$ を $x$ に代入します。

$\frac{3 e^{5}}{{(5)}^{5}}$

ステップ 4.1.2

$5$ を $5$ 乗します。

$\frac{3 e^{5}}{3125}$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{3 e^{0}}{{(0)}^{5}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3 e^{0}}{0}$

ステップ 4.2.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(5, \frac{3 e^{5}}{3125})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例