微分積分例

$F (t) = U e^{t} + V e^{- t}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $U e^{t} + V e^{- t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ です。

$\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d t} [U e^{t}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$U$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $U e^{t}$ の微分係数は $U \frac{d}{d t} [e^{t}]$ です。

$U \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$U e^{t} + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$V$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $V e^{- t}$ の微分係数は $V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ です。

$U e^{t} + V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

ステップ 1.1.3.2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- t$ とします。

$U e^{t} + V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 1.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$U e^{t} + V (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$U e^{t} + V (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$U e^{t} + V (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$U e^{t} + V (e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 1.1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$U e^{t} + V (e^{- t} \cdot - 1)$

ステップ 1.1.3.6

$- 1$ を $e^{- t}$ の左に移動させます。

$U e^{t} + V (- 1 \cdot e^{- t})$

ステップ 1.1.3.7

$- 1 e^{- t}$ を $- e^{- t}$ に書き換えます。

$U e^{t} + V (- e^{- t})$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

項を並べ替えます。

$e^{t} U - e^{- t} V$

ステップ 1.1.4.2

$e^{t} U - e^{- t} V$ の因数を並べ替えます。

$f' (t) = U e^{t} - V e^{- t}$

ステップ 1.2

$t$ に関する $F (t)$ の一次導関数は $U e^{t} - V e^{- t}$ です。

$U e^{t} - V e^{- t}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ に等しくします。

$U e^{t} - V e^{- t} = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $t$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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