微分積分例

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x^{2} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 16$ とします。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 16$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

ステップ 1.1.2.3

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.2.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

ステップ 1.1.2.4.2

$2$ と $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

ステップ 1.1.2.4.3

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

ステップ 1.1.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ です。

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 x^{3} - 32 x = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$2 x$ を $2 x^{3} - 32 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$2 x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

ステップ 2.3.1.1.2

$2 x$ を $- 32 x$ で因数分解します。

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

ステップ 2.3.1.1.3

$2 x$ を $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ で因数分解します。

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

ステップ 2.3.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

ステップ 2.3.1.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

ステップ 2.3.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.3.4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.3.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.3.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.3.6

最終解は $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4, 4$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| x^{2} - 16 | = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x^{2} - 16 = \pm 0$

ステップ 3.2.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x^{2} - 16 = 0$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺に $16$ を足します。

$x^{2} = 16$

ステップ 3.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{16}$

ステップ 3.2.5

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

ステップ 3.2.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

ステップ 3.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

ステップ 3.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

ステップ 3.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

ステップ 3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 4, x = 4$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $| x^{2} - 16 |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$| {(0)}^{2} - 16 |$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| 0 - 16 |$

ステップ 4.1.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$| - 16 |$

ステップ 4.1.2.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 16$ と $0$ の間の距離は $16$ です。

$16$

ステップ 4.2

$x = - 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

$| {(- 4)}^{2} - 16 |$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$| 16 - 16 |$

ステップ 4.2.2.2

$16$ から $16$ を引きます。

$| 0 |$

ステップ 4.2.2.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$0$

ステップ 4.3

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$4$ を $x$ に代入します。

$| {(4)}^{2} - 16 |$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$| 16 - 16 |$

ステップ 4.3.2.2

$16$ から $16$ を引きます。

$| 0 |$

ステップ 4.3.2.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 16), (- 4, 0), (4, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例