微分積分例

$f (x) = {(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = - 9 x^{2} + 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 9 x^{2} + 25$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $- 9 x^{2} + 25$ で置き換えます。

$2 (- 9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $- 9 x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$2 (- 9 x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 1.1.2.2

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 1.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 1.1.2.4

$2$ に $- 9$ をかけます。

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 1.1.2.5

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + 0)$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$- 18 x$ と $0$ をたし算します。

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x)$

ステップ 1.1.2.6.2

$- 18$ に $2$ をかけます。

$- 36 (- 9 x^{2} + 25) x$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$(- 36 (- 9 x^{2}) - 36 \cdot 25) x$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$- 36 (- 9 x^{2}) x - 36 \cdot 25 x$

ステップ 1.1.3.3

項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- 9$ に $- 36$ をかけます。

$324 x^{2} x - 36 \cdot 25 x$

ステップ 1.1.3.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$324 (x^{1} x^{2}) - 36 \cdot 25 x$

ステップ 1.1.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$324 x^{1 + 2} - 36 \cdot 25 x$

ステップ 1.1.3.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$324 x^{3} - 36 \cdot 25 x$

ステップ 1.1.3.3.5

$- 36$ に $25$ をかけます。

$f' (x) = 324 x^{3} - 900 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $324 x^{3} - 900 x$ です。

$324 x^{3} - 900 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $324 x^{3} - 900 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$324 x^{3} - 900 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$36 x$ を $324 x^{3} - 900 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$36 x$ を $324 x^{3}$ で因数分解します。

$36 x (9 x^{2}) - 900 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$36 x$ を $- 900 x$ で因数分解します。

$36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25) = 0$

ステップ 2.2.1.3

$36 x$ を $36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25)$ で因数分解します。

$36 x (9 x^{2} - 25) = 0$

ステップ 2.2.2

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$36 x ({(3 x)}^{2} - 25) = 0$

ステップ 2.2.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$36 x ({(3 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

ステップ 2.2.4

因数分解。

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ステップ 2.2.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 5$ です。

$36 x ((3 x + 5) (3 x - 5)) = 0$

ステップ 2.2.4.2

不要な括弧を削除します。

$36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$3 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$3 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 5 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $3 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$3 x = - 5$

ステップ 2.5.2.2

$3 x = - 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$3 x = - 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{3}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{3}$

ステップ 2.6

$3 x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$3 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 5 = 0$

ステップ 2.6.2

$x$ について $3 x - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.6.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$3 x = 5$

ステップ 2.6.2.2

$3 x = 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$3 x = 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 2.6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{3}$

ステップ 2.7

最終解は $36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(- 9 {(0)}^{2} + 25)}^{2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(- 9 \cdot 0 + 25)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 9$ に $0$ をかけます。

${(0 + 25)}^{2}$

ステップ 4.1.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $25$ をたし算します。

$25^{2}$

ステップ 4.1.2.2.2

$25$ を $2$ 乗します。

$625$

ステップ 4.2

$x = - \frac{5}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- \frac{5}{3}$ を $x$ に代入します。

${(- 9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{3}$ に当てはめます。

${(- 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

${(- 9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

${(- 9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.3

$\frac{5^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.4

$5$ を $2$ 乗します。

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.6

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.6.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.6.2

共通因数を約分します。

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.6.3

式を書き換えます。

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.7

$- 1$ に $25$ をかけます。

${(- 25 + 25)}^{2}$

ステップ 4.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$- 25$ と $25$ をたし算します。

$0^{2}$

ステップ 4.2.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.3

$x = \frac{5}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{5}{3}$ を $x$ に代入します。

${(- 9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4.2

共通因数を約分します。

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4.3

式を書き換えます。

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 1$ に $25$ をかけます。

${(- 25 + 25)}^{2}$

ステップ 4.3.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 25$ と $25$ をたし算します。

$0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 625), (- \frac{5}{3}, 0), (\frac{5}{3}, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例