微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2} \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.5

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$2 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2.3

共通因数を約分します。

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2.4

式を書き換えます。

$2 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$2 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x^{2}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 7$ をかけます。

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 14 x$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$2 x + 2 (\ln (x) (2 x)) - 14 x$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x + 4 (\ln (x) (x)) - 14 x$

ステップ 1.1.4.2.2

$2 x$ から $14 x$ を引きます。

$4 \ln (x) x - 12 x$

ステップ 1.1.4.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 4 x \ln (x) - 12 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x \ln (x) - 12 x$ です。

$4 x \ln (x) - 12 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x \ln (x) - 12 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x \ln (x) - 12 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $12 x$ を足します。

$4 x \ln (x) = 12 x$

ステップ 2.3

$4 x \ln (x) = 12 x$ の各項を $4 x$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$4 x \ln (x) = 12 x$ の各項を $4 x$ で割ります。

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

ステップ 2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

ステップ 2.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

ステップ 2.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{12 x}{4 x}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$12$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.1

$4$ を $12 x$ で因数分解します。

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.2.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 (x)}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

ステップ 2.3.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

ステップ 2.3.3.2.2

$3$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = 3$

ステップ 2.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{3}$

ステップ 2.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{3} = x$

ステップ 2.6

方程式を $x = e^{3}$ として書き換えます。

$x = e^{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 3.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = e^{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$e^{3}$ を $x$ に代入します。

$2 {(e^{3})}^{2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

${(e^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 e^{3 \cdot 2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$2 e^{6} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

対数の法則を利用して指数の外に $3$ を移動します。

$2 e^{6} (3 \ln (e)) - 7 {(e^{3})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 e^{6} (3 \cdot 1) - 7 {(e^{3})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$2 e^{6} \cdot 3 - 7 {(e^{3})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.5

$3$ に $2$ をかけます。

$6 e^{6} - 7 {(e^{3})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.6

${(e^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 e^{6} - 7 e^{3 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.1.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$6 e^{6} - 7 e^{6}$

ステップ 4.1.2.2

$6 e^{6}$ から $7 e^{6}$ を引きます。

$- e^{6}$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$2 {(0)}^{2} \ln (0) - 7 {(0)}^{2}$

ステップ 4.2.2

0の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(e^{3}, - e^{6})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例