微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - 39 x^{2} + 90 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 39 x^{2} + 90 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 39$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 39 x^{2}$ の微分係数は $- 39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{2} - 39 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 39 (2 x) + \frac{d}{d x} [90 x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 39$ をかけます。

$12 x^{2} - 78 x + \frac{d}{d x} [90 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [90 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$90$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $90 x$ の微分係数は $90 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} - 78 x + 90 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 78 x + 90 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$90$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 78 x + 90$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 78 x + 90$ です。

$12 x^{2} - 78 x + 90$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 78 x + 90 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 78 x + 90 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$6$ を $12 x^{2} - 78 x + 90$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$6$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) - 78 x + 90 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$6$ を $- 78 x$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 13 x) + 90 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$6$ を $90$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 13 x) + 6 (15) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$6$ を $6 (2 x^{2}) + 6 (- 13 x)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 13 x) + 6 (15) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$6$ を $6 (2 x^{2} - 13 x) + 6 (15)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ で和が $b = - 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

$- 13$ を $- 13 x$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$- 13$ を $- 3$ プラス $- 10$ に書き換える

$6 (2 x^{2} + (- 3 - 10) x + 15) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$6 (2 x^{2} - 3 x - 10 x + 15) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$6 ((2 x^{2} - 3 x) - 10 x + 15) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$6 (x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$6 ((2 x - 3) (x - 5)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (2 x - 3) (x - 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2.4

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 2.4.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 2.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.6

最終解は $6 (2 x - 3) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3}{2}, 5$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 x^{3} - 39 x^{2} + 90 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{3}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{3}{2}$ を $x$ に代入します。

$4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 39 {(\frac{3}{2})}^{2} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 39 {(\frac{3}{2})}^{2} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$4 \frac{27}{2^{3}} - 39 {(\frac{3}{2})}^{2} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$4 (\frac{27}{8}) - 39 {(\frac{3}{2})}^{2} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 \frac{27}{4 (2)} - 39 {(\frac{3}{2})}^{2} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{27}{4 \cdot 2} - 39 {(\frac{3}{2})}^{2} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{27}{2} - 39 {(\frac{3}{2})}^{2} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.5

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{27}{2} - 39 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{27}{2} - 39 \frac{9}{2^{2}} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{27}{2} - 39 (\frac{9}{4}) + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.8

$- 39 (\frac{9}{4})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.8.1

$- 39$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$\frac{27}{2} + \frac{- 39 \cdot 9}{4} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.8.2

$- 39$ に $9$ をかけます。

$\frac{27}{2} + \frac{- 351}{4} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{27}{2} - \frac{351}{4} + 90 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.10.1

$2$ を $90$ で因数分解します。

$\frac{27}{2} - \frac{351}{4} + 2 (45) \frac{3}{2}$

ステップ 4.1.2.1.10.2

共通因数を約分します。

$\frac{27}{2} - \frac{351}{4} + 2 \cdot 45 \frac{3}{2}$

ステップ 4.1.2.1.10.3

式を書き換えます。

$\frac{27}{2} - \frac{351}{4} + 45 \cdot 3$

ステップ 4.1.2.1.11

$45$ に $3$ をかけます。

$\frac{27}{2} - \frac{351}{4} + 135$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$\frac{27}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{351}{4} + 135$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{27}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{351}{4} + 135$

ステップ 4.1.2.2.3

$135$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{351}{4} + \frac{135}{1}$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{135}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{351}{4} + \frac{135}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.1.2.2.5

$\frac{135}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{351}{4} + \frac{135 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{27 \cdot 2}{4} - \frac{351}{4} + \frac{135 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{27 \cdot 2 - 351 + 135 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$27$ に $2$ をかけます。

$\frac{54 - 351 + 135 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4.2

$135$ に $4$ をかけます。

$\frac{54 - 351 + 540}{4}$

ステップ 4.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

$54$ から $351$ を引きます。

$\frac{- 297 + 540}{4}$

ステップ 4.1.2.5.2

$- 297$ と $540$ をたし算します。

$\frac{243}{4}$

ステップ 4.2

$x = 5$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$5$ を $x$ に代入します。

$4 {(5)}^{3} - 39 {(5)}^{2} + 90 (5)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$5$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 125 - 39 {(5)}^{2} + 90 (5)$

ステップ 4.2.2.1.2

$4$ に $125$ をかけます。

$500 - 39 {(5)}^{2} + 90 (5)$

ステップ 4.2.2.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$500 - 39 \cdot 25 + 90 (5)$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 39$ に $25$ をかけます。

$500 - 975 + 90 (5)$

ステップ 4.2.2.1.5

$90$ に $5$ をかけます。

$500 - 975 + 450$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$500$ から $975$ を引きます。

$- 475 + 450$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 475$ と $450$ をたし算します。

$- 25$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{3}{2}, \frac{243}{4}), (5, - 25)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例