微分積分例

$f (x) = \frac{81 x^{2} - 100}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = 81 x^{2} - 100$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [81 x^{2} - 100] - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $81 x^{2} - 100$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]) - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$81$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $81 x^{2}$ の微分係数は $81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x (81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]) - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (81 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 100]) - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$2$ に $81$ をかけます。

$\frac{x (162 x + \frac{d}{d x} [- 100]) - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$- 100$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 100$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (162 x + 0) - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$162 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (162 x) - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{162 (x^{1} x) - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{162 (x^{1} x^{1}) - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{162 x^{1 + 1} - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{162 x^{2} - (81 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{162 x^{2} - (81 x^{2} - 100) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{162 x^{2} - (81 x^{2} - 100)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9

簡約します。

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ステップ 1.1.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{162 x^{2} - (81 x^{2}) - - 100}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.9.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.9.2.1.1

$81$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{162 x^{2} - 81 x^{2} - - 100}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.2.1.2

$- 1$ に $- 100$ をかけます。

$\frac{162 x^{2} - 81 x^{2} + 100}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.2.2

$162 x^{2}$ から $81 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{81 x^{2} + 100}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{81 x^{2} + 100}{x^{2}}$ です。

$\frac{81 x^{2} + 100}{x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{81 x^{2} + 100}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{81 x^{2} + 100}{x^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$81 x^{2} + 100 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $100$ を引きます。

$81 x^{2} = - 100$

ステップ 2.3.2

$81 x^{2} = - 100$ の各項を $81$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$81 x^{2} = - 100$ の各項を $81$ で割ります。

$\frac{81 x^{2}}{81} = \frac{- 100}{81}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$81$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{81 x^{2}}{81} = \frac{- 100}{81}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 100}{81}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{100}{81}$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{100}{81}}$

ステップ 2.3.4

$\pm \sqrt{- \frac{100}{81}}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- \frac{100}{81}$ を ${(\frac{10 i}{9})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{10 i}{9})}^{2}}$

ステップ 2.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{10 i}{9}$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{10 i}{9}$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{10 i}{9}$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{10 i}{9}, - \frac{10 i}{9}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{81 x^{2} + 100}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{81 x^{2} - 100}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{81 {(0)}^{2} - 100}{0}$

ステップ 4.1.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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