微分積分例

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = \frac{π x}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π x}{4}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $\sec (u)$ の微分係数は $\sec (u) \tan (u)$ です。

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{π x}{4}$ で置き換えます。

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{π}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π x}{4}$ の微分係数は $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$\frac{π}{4}$ と $\sec (\frac{π x}{4})$ をまとめます。

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ と $\tan (\frac{π x}{4})$ をまとめます。

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ です。

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

ステップ 2.3.2

$\sec (\frac{π x}{4})$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$\sec (\frac{π x}{4})$ が $0$ に等しいとします。

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

ステップ 2.3.2.2

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 2.3.3

$\tan (\frac{π x}{4})$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$\tan (\frac{π x}{4})$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

ステップ 2.3.3.2

$x$ について $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

ステップ 2.3.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π x}{4} = 0$

ステップ 2.3.3.2.3

分子を0に等しくします。

$π x = 0$

ステップ 2.3.3.2.4

$π x = 0$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.4.1

$π x = 0$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

ステップ 2.3.3.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.4.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

ステップ 2.3.3.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{π}$

ステップ 2.3.3.2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.4.3.1

$0$ を $π$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 2.3.3.2.5

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$\frac{π x}{4} = π + 0$

ステップ 2.3.3.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 2.3.3.2.6.1

方程式の両辺に $\frac{4}{π}$ を掛けます。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

ステップ 2.3.3.2.6.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.6.2.1.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.6.2.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

ステップ 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

ステップ 2.3.3.2.6.2.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

$π$ を $π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

ステップ 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

ステップ 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

ステップ 2.3.3.2.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.6.2.2.1

$\frac{4}{π} (π + 0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.6.2.2.1.1

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = \frac{4}{π} π$

ステップ 2.3.3.2.6.2.2.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{4}{π} π$

ステップ 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x = 4$

ステップ 2.3.3.2.7

$\tan (\frac{π x}{4})$ の周期を求めます。

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ステップ 2.3.3.2.7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.3.3.2.7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{π}{4}$ で置き換えます。

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

ステップ 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ は約 $0.78539816$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

ステップ 2.3.3.2.7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \frac{4}{π}$

ステップ 2.3.3.2.7.5

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.7.5.1

共通因数を約分します。

$π \frac{4}{π}$

ステップ 2.3.3.2.7.5.2

式を書き換えます。

$4$

ステップ 2.3.3.2.8

$\tan (\frac{π x}{4})$ 関数の周期が $4$ なので、両方向で $4$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 4 n, 4 + 4 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.3.4

最終解は $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4 n, 4 + 4 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.4

答えをまとめます。

$x = 4 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sec (\frac{π x}{4})$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $\frac{4}{π}$ を掛けます。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.2.1

$π$ を $π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.3

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.4

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1.4.1

$π$ を $π n$ で因数分解します。

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

ステップ 3.2.2.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.4.3

式を書き換えます。

$x = 2 + 4 n$

ステップ 3.2.3

$2$ と $4 n$ を並べ替えます。

$x = 4 n + 2$

ステップ 3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

${x | x = 4 n + 2}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sec (\frac{π x}{4})$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$4$ を $π (0)$ で因数分解します。

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

ステップ 4.1.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

ステップ 4.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

ステップ 4.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

ステップ 4.1.2.1.2.4

$π \cdot (0)$ を $1$ で割ります。

$\sec (π \cdot (0))$

ステップ 4.1.2.2

$π$ に $0$ をかけます。

$\sec (0)$

ステップ 4.1.2.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 4.2

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

ステップ 4.2.2.1.2

$π$ を $1$ で割ります。

$\sec (π)$

ステップ 4.2.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \sec (0)$

ステップ 4.2.2.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

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