微分積分例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2} + 2$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $18$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ です。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 24 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4 x$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x) + 36 x = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4 x$ を $36 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x) + 4 x (9) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 6 x) + 4 x (9) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$4 x$ を $4 x (x^{2} - 6 x) + 4 x (9)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

ステップ 2.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 2.2.2.3

多項式を書き換えます。

$4 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$4 x {(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

${(x - 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

${(x - 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について ${(x - 3)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.6

最終解は $4 x {(x - 3)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2} + 2$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 2$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 2$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} + 2$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 8$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 18 {(0)}^{2} + 2$

ステップ 4.1.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + 18 \cdot 0 + 2$

ステップ 4.1.2.1.5

$18$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 + 2$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 + 2$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 2$

ステップ 4.1.2.2.3

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 4.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

${(3)}^{4} - 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2} + 2$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$81 - 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2} + 2$

ステップ 4.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$81 - 8 \cdot 27 + 18 {(3)}^{2} + 2$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 8$ に $27$ をかけます。

$81 - 216 + 18 {(3)}^{2} + 2$

ステップ 4.2.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$81 - 216 + 18 \cdot 9 + 2$

ステップ 4.2.2.1.5

$18$ に $9$ をかけます。

$81 - 216 + 162 + 2$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$81$ から $216$ を引きます。

$- 135 + 162 + 2$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 135$ と $162$ をたし算します。

$27 + 2$

ステップ 4.2.2.2.3

$27$ と $2$ をたし算します。

$29$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 2), (3, 29)$

ステップ 5

微分積分 例

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