微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} + 39 x^{2} + 216 x + 9$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{3} + 39 x^{2} + 216 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [216 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [39 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$39$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $39 x^{2}$ の微分係数は $39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 39 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 39 (2 x) + \frac{d}{d x} [216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $39$ をかけます。

$6 x^{2} + 78 x + \frac{d}{d x} [216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [216 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$216$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $216 x$ の微分係数は $216 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 78 x + 216 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 78 x + 216 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.4.3

$216$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} + 78 x + 216 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} + 78 x + 216 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$6 x^{2} + 78 x + 216$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x^{2} + 78 x + 216$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} + 78 x + 216$ です。

$6 x^{2} + 78 x + 216$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 78 x + 216 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} + 78 x + 216 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$6$ を $6 x^{2} + 78 x + 216$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 78 x + 216 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$6$ を $78 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (13 x) + 216 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$6$ を $216$ で因数分解します。

$6 x^{2} + 6 (13 x) + 6 \cdot 36 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$6$ を $6 x^{2} + 6 (13 x)$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + 13 x) + 6 \cdot 36 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} + 13 x) + 6 \cdot 36$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + 13 x + 36) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 13 x + 36$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $36$ で、その和が $13$ です。

$4, 9$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x + 4) (x + 9)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x + 4) (x + 9) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$x + 9 = 0$

ステップ 2.4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.5

$x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x + 9 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 2.6

最終解は $6 (x + 4) (x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, - 9$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x^{3} + 39 x^{2} + 216 x + 9$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

$2 {(- 4)}^{3} + 39 {(- 4)}^{2} + 216 (- 4) + 9$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 64 + 39 {(- 4)}^{2} + 216 (- 4) + 9$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ に $- 64$ をかけます。

$- 128 + 39 {(- 4)}^{2} + 216 (- 4) + 9$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$- 128 + 39 \cdot 16 + 216 (- 4) + 9$

ステップ 4.1.2.1.4

$39$ に $16$ をかけます。

$- 128 + 624 + 216 (- 4) + 9$

ステップ 4.1.2.1.5

$216$ に $- 4$ をかけます。

$- 128 + 624 - 864 + 9$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$- 128$ と $624$ をたし算します。

$496 - 864 + 9$

ステップ 4.1.2.2.2

$496$ から $864$ を引きます。

$- 368 + 9$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 368$ と $9$ をたし算します。

$- 359$

ステップ 4.2

$x = - 9$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 9$ を $x$ に代入します。

$2 {(- 9)}^{3} + 39 {(- 9)}^{2} + 216 (- 9) + 9$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 9$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 729 + 39 {(- 9)}^{2} + 216 (- 9) + 9$

ステップ 4.2.2.1.2

$2$ に $- 729$ をかけます。

$- 1458 + 39 {(- 9)}^{2} + 216 (- 9) + 9$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 9$ を $2$ 乗します。

$- 1458 + 39 \cdot 81 + 216 (- 9) + 9$

ステップ 4.2.2.1.4

$39$ に $81$ をかけます。

$- 1458 + 3159 + 216 (- 9) + 9$

ステップ 4.2.2.1.5

$216$ に $- 9$ をかけます。

$- 1458 + 3159 - 1944 + 9$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 1458$ と $3159$ をたし算します。

$1701 - 1944 + 9$

ステップ 4.2.2.2.2

$1701$ から $1944$ を引きます。

$- 243 + 9$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 243$ と $9$ をたし算します。

$- 234$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 4, - 359), (- 9, - 234)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例