微分積分例

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

ステップ 1.1.1.2

総和則では、 $e^{x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 1.1.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.1.4

微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 1.1.4.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 1.1.4.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{4} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 1.1.4.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} e^{x} + \frac{1}{4} (- e^{- x})$

ステップ 1.1.5.2

$\frac{1}{4}$ と $e^{- x}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} e^{x} - \frac{e^{- x}}{4}$

ステップ 1.1.5.3

$\frac{1}{4}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$ です。

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$

ステップ 2.2

両辺に $- \frac{e^{- x}}{4}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$\frac{e^{x}}{4} = \frac{e^{- x}}{4}$

ステップ 2.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$e^{x} = e^{- x}$

ステップ 2.4

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = - x$

ステップ 2.5

$x$ について解きます。

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ステップ 2.5.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 2.5.1.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$x + x = 0$

ステップ 2.5.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x = 0$

ステップ 2.5.2

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{4}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 + e^{- (0)}}{4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 + e^{0}}{4}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 + 1}{4}$

ステップ 4.1.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{4}$

ステップ 4.1.2.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4}$

ステップ 4.1.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, \frac{1}{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例