微分積分例

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ です。

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

$2 \sin (x)$ を $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$2 \sin (x)$ を $- 2 \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.2

$2 \sin (x)$ を $- 2 \sin (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2.3

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 2.4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 2.4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.4.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.4.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

$- \cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$- \cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $- \cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- \cos (x) = 1$

ステップ 2.5.2.2

$- \cos (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$- \cos (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 2.5.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 2.5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 2.5.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 2.5.2.6

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.5.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.5.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.6

最終解は $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.7

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $π n$ です。

$π n$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ です。

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, π n)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $π n - 1$ で置換えます。

$f' (π n - 1) = - 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

ステップ 5.2

最終的な答えは $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ です。

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

ステップ 5.3

簡約します。

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

ステップ 5.4

$x = π n - 1$ で微分係数は $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, π n)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, π n)$ で減少

ステップ 6

区間 $(π n, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $π n + 1$ で置換えます。

$f' (π n + 1) = - 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

ステップ 6.2

最終的な答えは $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ です。

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

ステップ 6.3

簡約します。

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

ステップ 6.4

$x = π n + 1$ で微分係数は $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ です。これは負の値なので、関数は $(π n, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(π n, \infty)$ で減少

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, π n), (π n, \infty)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

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