微分積分例

$f (x) = 0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$0.7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.7 x^{3}$ の微分係数は $0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $0.7$ をかけます。

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = {1.7}^{x}$ および $g (x) = - 1.8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 1.8 x$ とします。

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d u} [{1.7}^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

ステップ 1.1.3.1.2

$a$ = $1.7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2.1 x^{2} + {1.7}^{u} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $- 1.8 x$ で置き換えます。

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

ステップ 1.1.3.2

$- 1.8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 1.8 x$ の微分係数は $- 1.8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.4

$- 1.8$ に $1$ をかけます。

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \cdot - 1.8$

ステップ 1.1.3.5

$- 1.8$ に $\ln (1.7)$ をかけます。

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \cdot - 0.95513085$

ステップ 1.1.3.6

$- 0.95513085$ を ${1.7}^{- 1.8 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$ です。

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$

ステップ 2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$ です。

$- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3.36689747) \cup (- 3.36689747, - 1.19117954) \cup (- 1.19117954, 0.52487955) \cup (0.52487955, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3.36689747)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4.3668976$ で置換えます。

$f' (- 4.3668976) = 2.1 {(- 4.3668976)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 4.3668976$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4.3668976) = 2.1 \cdot 19.06979464 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

ステップ 5.2.1.2

$2.1$ に $19.06979464$ をかけます。

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

ステップ 5.2.1.3

$- 1.8$ に $- 4.3668976$ をかけます。

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{7.86041568}$

ステップ 5.2.1.4

$1.7$ を $7.86041568$ 乗します。

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot 64.77751969$

ステップ 5.2.1.5

$- 0.95513085$ に $64.77751969$ をかけます。

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 61.87100757$

ステップ 5.2.2

$40.04656876$ から $61.87100757$ を引きます。

$f' (- 4.3668976) = - 21.8244388$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 21.8244388$ です。

$- 21.8244388$

ステップ 5.3

$x = - 4.3668976$ で微分係数は $- 21.8244388$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 3.36689747)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 3.36689747)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2.27903855$ で置換えます。

$f' (- 2.27903855) = 2.1 {(- 2.27903855)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 2.27903855$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.27903855) = 2.1 \cdot 5.19401671 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

ステップ 6.2.1.2

$2.1$ に $5.19401671$ をかけます。

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1.8$ に $- 2.27903855$ をかけます。

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{4.10226939}$

ステップ 6.2.1.4

$1.7$ を $4.10226939$ 乗します。

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot 8.81786724$

ステップ 6.2.1.5

$- 0.95513085$ に $8.81786724$ をかけます。

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 8.42221705$

ステップ 6.2.2

$10.90743509$ から $8.42221705$ を引きます。

$f' (- 2.27903855) = 2.48521804$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $2.48521804$ です。

$2.48521804$

ステップ 6.3

$x = - 2.27903855$ で微分係数は $2.48521804$ です。これは正の値なので、関数は $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 3.36689747, - 1.19117954)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 1.1911795, 0.52487955)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.33314995$ で置換えます。

$f' (- 0.33314995) = 2.1 {(- 0.33314995)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 0.33314995$ を $2$ 乗します。

$f' (- 0.33314995) = 2.1 \cdot 0.11098888 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

ステップ 7.2.1.2

$2.1$ に $0.11098888$ をかけます。

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

ステップ 7.2.1.3

$- 1.8$ に $- 0.33314995$ をかけます。

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{0.59966991}$

ステップ 7.2.1.4

$1.7$ を $0.59966991$ 乗します。

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot 1.37465363$

ステップ 7.2.1.5

$- 0.95513085$ に $1.37465363$ をかけます。

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 1.31297409$

ステップ 7.2.2

$0.23307666$ から $1.31297409$ を引きます。

$f' (- 0.33314995) = - 1.07989742$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 1.07989742$ です。

$- 1.07989742$

ステップ 7.3

$x = - 0.33314995$ で微分係数は $- 1.07989742$ です。これは負の値なので、関数は $(- 1.1911795, 0.52487955)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 1.19117954, 0.52487955)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0.52487955, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.5248796$ で置換えます。

$f' (1.5248796) = 2.1 {(1.5248796)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$1.5248796$ を $2$ 乗します。

$f' (1.5248796) = 2.1 \cdot 2.32525779 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

ステップ 8.2.1.2

$2.1$ に $2.32525779$ をかけます。

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

ステップ 8.2.1.3

$- 1.8$ に $1.5248796$ をかけます。

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 2.74478328}$

ステップ 8.2.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{{1.7}^{2.74478328}}$

ステップ 8.2.1.5

$1.7$ を $2.74478328$ 乗します。

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{4.29074145}$

ステップ 8.2.1.6

$1$ を $4.29074145$ で割ります。

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot 0.23305995$

ステップ 8.2.1.7

$- 0.95513085$ に $0.23305995$ をかけます。

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.22260275$

ステップ 8.2.2

$4.88304136$ から $0.22260275$ を引きます。

$f' (1.5248796) = 4.66043861$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $4.66043861$ です。

$4.66043861$

ステップ 8.3

$x = 1.5248796$ で微分係数は $4.66043861$ です。これは正の値なので、関数は $(0.52487955, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0.52487955, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 3.36689747, - 1.19117954), (0.52487955, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 3.36689747), (- 1.19117954, 0.52487955)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例