微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2} - 7 x + 12$ および $g (x) = x^{2} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 12] - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 7 x + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$2 x - 7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

総和則では、 $x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 (x^{2} - 7 x + 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) + (- 2 x^{2} - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 16) (2 x - 7)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (2 x - 7) - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.3

$- 7$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 7 \cdot x^{2} - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.4

$2$ に $- 16$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.5

$- 16$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 (x \cdot x)) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.5

$- 7$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.6

$- 2$ に $12$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.3.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 0 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2.2

$- 7 x^{2} - 32 x + 112$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.3

$- 7 x^{2}$ と $14 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{7 x^{2} - 32 x + 112 - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.4

$- 32 x$ から $24 x$ を引きます。

$\frac{7 x^{2} - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$7$ を $7 x^{2} - 56 x + 112$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.4.1.1

$7$ を $7 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{7 (x^{2}) - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.2

$7$ を $- 56 x$ で因数分解します。

$\frac{7 (x^{2}) + 7 (- 8 x) + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.3

$7$ を $112$ で因数分解します。

$\frac{7 x^{2} + 7 (- 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.4

$7$ を $7 x^{2} + 7 (- 8 x)$ で因数分解します。

$\frac{7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.1.5

$7$ を $7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16$ で因数分解します。

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.3.4.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 1.1.3.4.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{7 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.3

積の法則を $(x + 4) (x - 4)$ に当てはめます。

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

${(x - 4)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6.2

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ です。

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$7 = 0$

ステップ 2.3

$7 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 5$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

ステップ 6.2.2

$7$ を $1$ で割ります。

$f' (- 5) = 7$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $7$ です。

$7$

ステップ 6.3

$x = - 5$ で微分係数は $7$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 4)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 4)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 4, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

ステップ 7.2.2

$7$ を $1$ で割ります。

$f' (- 3) = 7$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $7$ です。

$7$

ステップ 7.3

$x = - 3$ で微分係数は $7$ です。これは正の値なので、関数は $(- 4, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 4, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$ で増加

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例