微分積分例

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{- x} \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{- x}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 1.1.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 1.1.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 1.1.4.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 1.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 1.1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

ステップ 1.1.5.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

ステップ 1.1.5.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

ステップ 1.1.5.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

ステップ 1.1.6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

ステップ 1.1.6.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

ステップ 1.1.6.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ です。

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2 e^{- x}$ を $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$2 e^{- x}$ を $- 2 e^{- x} \sin (x)$ で因数分解します。

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

ステップ 2.2.1.2

$2 e^{- x}$ を $- 2 e^{- x} \cos (x)$ で因数分解します。

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

ステップ 2.2.1.3

$2 e^{- x}$ を $2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ で因数分解します。

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

ステップ 2.2.2

$- 1 \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

ステップ 2.2.3

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

ステップ 2.4

$e^{- x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$e^{- x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- x} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $e^{- x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

ステップ 2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.4.2.3

$e^{- x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.5

$- \sin (x) - \cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- \sin (x) - \cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.2

分数を分解します。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1

共通因数を約分します。

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.5.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.6

分数を分解します。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 2.5.2.8

$0$ を $1$ で割ります。

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

ステップ 2.5.2.9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$- \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.10

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- \tan (x) = 1$

ステップ 2.5.2.11

$- \tan (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.1

$- \tan (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.11.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.11.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.11.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 2.5.2.12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 2.5.2.13

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.13.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.14

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 2.5.2.15

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.15.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 2.5.2.15.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.5.2.16

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.16.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.5.2.16.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.5.2.17

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.17.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 2.5.2.17.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.17.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.17.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.17.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 2.5.2.17.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.17.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 2.5.2.17.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 2.5.2.17.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.5.2.18

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.6

最終解は $2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{3 π}{4} + π n$ です。

$\frac{3 π}{4} + π n$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ です。

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ で置換えます。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

ステップ 5.2.1.3

分配則を当てはめます。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

ステップ 5.2.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ です。

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

ステップ 5.3

$x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ で微分係数は $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ で減少

ステップ 6

区間 $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ で置換えます。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

ステップ 6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ です。

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

ステップ 6.3

$x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ で微分係数は $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ です。これは負の値なので、関数は $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ で減少

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例