微分積分例

$f (x) = {(x - 7)}^{\frac{6}{7}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ および $g (x) = x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 7$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{7}}] \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.1.2

$n = \frac{6}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 7$ で置き換えます。

$\frac{6}{7} {(x - 7)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{6}{7} {(x - 7)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{6}{7} {(x - 7)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6}{7} {(x - 7)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{6}{7} {(x - 7)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.5.2

$6$ から $7$ を引きます。

$\frac{6}{7} {(x - 7)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.6

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{6}{7} {(x - 7)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.6.2

$\frac{6}{7}$ と ${(x - 7)}^{- \frac{1}{7}}$ をまとめます。

$\frac{6 {(x - 7)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 7)}^{- \frac{1}{7}}$ を分母に移動させます。

$\frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 1.1.7

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.1.9

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}} (1 + 0)$

ステップ 1.1.10

式を簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.10.2

$\frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}}$ です。

$\frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$6 = 0$

ステップ 2.3

$6 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 4.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{{(x - 7)}^{1}}}$

ステップ 4.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x - 7}}$

ステップ 4.2

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x - 7}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$7 \sqrt[7]{x - 7} = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $7$ 乗します。

${(7 \sqrt[7]{x - 7})}^{7} = 0^{7}$

ステップ 4.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{x - 7}$ を ${(x - 7)}^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

${(7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

ステップ 4.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

${(7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1.1

積の法則を $7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}$ に当てはめます。

$7^{7} {({(x - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$7$ を $7$ 乗します。

$823543 {({(x - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

ステップ 4.3.2.2.1.3

${({(x - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$823543 {(x - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$823543 {(x - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$823543 {(x - 7)}^{1} = 0^{7}$

ステップ 4.3.2.2.1.4

簡約します。

$823543 (x - 7) = 0^{7}$

ステップ 4.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$823543 x + 823543 \cdot - 7 = 0^{7}$

ステップ 4.3.2.2.1.6

$823543$ に $- 7$ をかけます。

$823543 x - 5764801 = 0^{7}$

ステップ 4.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$823543 x - 5764801 = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

方程式の両辺に $5764801$ を足します。

$823543 x = 5764801$

ステップ 4.3.3.2

$823543 x = 5764801$ の各項を $823543$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$823543 x = 5764801$ の各項を $823543$ で割ります。

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{5764801}{823543}$

ステップ 4.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1

$823543$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{5764801}{823543}$

ステップ 4.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5764801}{823543}$

ステップ 4.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.3.1

$5764801$ を $823543$ で割ります。

$x = 7$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = \frac{6}{7 {(x - 7)}^{\frac{1}{7}}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = {(x - 7)}^{\frac{6}{7}}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ です。

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 7)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = \frac{6}{7 {((6) - 7)}^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$6$ から $7$ を引きます。

$f' (6) = \frac{6}{7 {(- 1)}^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{7}$ に書き換えます。

$f' (6) = \frac{6}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 6.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (6) = \frac{6}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{1}{7})}}$

ステップ 6.2.1.4

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f' (6) = \frac{6}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{1}{7})}}$

ステップ 6.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f' (6) = \frac{6}{7 (- 1)}$

ステップ 6.2.1.5

指数を求めます。

$f' (6) = \frac{6}{7 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$7$ に $- 1$ をかけます。

$f' (6) = \frac{6}{- 7}$

ステップ 6.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (6) = - \frac{6}{7}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{6}{7}$ です。

$- \frac{6}{7}$

ステップ 6.3

$x = 6$ で微分係数は $- \frac{6}{7}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 7)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 7)$ で減少

ステップ 7

区間 $(7, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f' (8) = \frac{6}{7 {((8) - 7)}^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$8$ から $7$ を引きます。

$f' (8) = \frac{6}{7 \cdot 1^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 7.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (8) = \frac{6}{7 \cdot 1}$

ステップ 7.2.2

$7$ に $1$ をかけます。

$f' (8) = \frac{6}{7}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{6}{7}$ です。

$\frac{6}{7}$

ステップ 7.3

$x = 8$ で微分係数は $\frac{6}{7}$ です。これは正の値なので、関数は $(7, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(7, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(7, \infty)$ で増加

$(- \infty, 7)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例