微分積分例

$x = e^{t} - 5$ , $y = e^{2 t}$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = e^{t} - 5$

ステップ 2

方程式を $e^{t} - 5 = x$ として書き換えます。

$e^{t} - 5 = x$

ステップ 3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$e^{t} = x + 5$

ステップ 4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{t}) = \ln (x + 5)$

ステップ 5

左辺を展開します。

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ステップ 5.1

$t$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{t})$ を展開します。

$t \ln (e) = \ln (x + 5)$

ステップ 5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$t \cdot 1 = \ln (x + 5)$

ステップ 5.3

$t$ に $1$ をかけます。

$t = \ln (x + 5)$

$t = \ln (x + 5)$

ステップ 6

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = e^{2 (\ln (x + 5))}$

ステップ 7

$e^{2 (\ln (x + 5))}$ を簡約します。

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ステップ 7.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 (\ln (x + 5))$ を簡約します。

$y = e^{\ln ({(x + 5)}^{2})}$

ステップ 7.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$y = {(x + 5)}^{2}$

ステップ 7.3

${(x + 5)}^{2}$ を $(x + 5) (x + 5)$ に書き換えます。

$y = (x + 5) (x + 5)$

ステップ 7.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 5) (x + 5)$ を展開します。

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ステップ 7.4.1

分配則を当てはめます。

$y = x (x + 5) + 5 (x + 5)$

ステップ 7.4.2

分配則を当てはめます。

$y = x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)$

ステップ 7.4.3

分配則を当てはめます。

$y = x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5$

$y = x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5$

ステップ 7.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5$

ステップ 7.5.1.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y = x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5$

ステップ 7.5.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$y = x^{2} + 5 x + 5 x + 25$

$y = x^{2} + 5 x + 5 x + 25$

ステップ 7.5.2

$5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$y = x^{2} + 10 x + 25$

$y = x^{2} + 10 x + 25$

$y = x^{2} + 10 x + 25$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$