微分積分例

$y = \ln (x) \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

分数をまとめます。

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ステップ 1.4.1

$\cos (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\ln (x) (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{x}$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x) \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ です。

$- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

ステップ 2.2.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

ステップ 2.2.5

$\sin (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{\sin (x)}{x} - (\ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$- \frac{\sin (x)}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.4.2.2.1

$\frac{\sin (x)}{x}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x \cdot x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x^{1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1 + 1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{2}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) x + x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.4

$x$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - 1 \cdot x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.5

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.6

$- x \sin (x)$ から $x \sin (x)$ を引きます。

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.7

$- \ln (x) \cos (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$- \ln (x) \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.8

$- \ln (x) \cos (x)$ と $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} \cos (x) \ln (x) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.4

$- 1$ を $- x^{2} \cos (x) \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.5

$- 1$ を $- 2 x \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.6

$- 1$ を $- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2.4.7

$- 1$ を $- \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))}{x^{2}}$

ステップ 2.4.8

$- 1$ を $- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

ステップ 2.4.9

$- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ を $- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

ステップ 2.4.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x)}{x^{2}}$

微分積分 例

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