微分積分例

$y = \cos^{2} (θ)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (θ) = θ^{2}$ および $g (θ) = \cos (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (θ)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (θ)$ で置き換えます。

$2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

ステップ 1.2

$θ$ に関する $\cos (θ)$ の微分係数は $- \sin (θ)$ です。

$2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

ステップ 1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 2$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ です。

$- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$

ステップ 2.2

$f (θ) = \cos (θ)$ および $g (θ) = \sin (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ は $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

ステップ 2.3

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

ステップ 2.4

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

ステップ 2.5

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

ステップ 2.8

$θ$ に関する $\cos (θ)$ の微分係数は $- \sin (θ)$ です。

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ)))$

ステップ 2.9

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

ステップ 2.10

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

ステップ 2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1})$

ステップ 2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.13

簡約します。

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ステップ 2.13.1

分配則を当てはめます。

$- 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.13.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ)$

微分積分 例

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