微分積分例

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{2 - 4}}{x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2$ から $4$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5} - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

ステップ 1.2

$x^{- 2}$ を $3 x^{5} - 7 x^{- 2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x^{- 2}$ を $3 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

ステップ 1.2.2

$x^{- 2}$ を $- 7 x^{- 2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7}{x^{2}}]$

ステップ 1.2.3

$x^{- 2}$ を $x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7} - 7)}{x^{2}}]$

ステップ 1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2} x^{2}}]$

ステップ 1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2 + 2}}]$

ステップ 1.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{4}}]$

ステップ 1.5

$f (x) = 3 x^{7} - 7$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 1.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

ステップ 1.6.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.6.2

総和則では、 $3 x^{7} - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.6.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{7}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ です。

$\frac{x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.6.4

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4} (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.6.5

$7$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.6.6

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + 0) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.6.7

$21 x^{6}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{4} (21 x^{6}) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.7

指数を足して $x^{4}$ に $x^{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$x^{6}$ を移動させます。

$\frac{x^{6} x^{4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{6 + 4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.7.3

$6$ と $4$ をたし算します。

$\frac{x^{10} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.8

$21$ を $x^{10}$ の左に移動させます。

$\frac{21 \cdot x^{10} - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.9

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{21 x^{10} - (3 x^{7} - 7) (4 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 1.10

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 1.10.2

$x^{3}$ を $21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.2.1

$x^{3}$ を $21 x^{10}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 1.10.2.2

$x^{3}$ を $- 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

ステップ 1.10.2.3

$x^{3}$ を $x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

ステップ 1.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.1

$x^{3}$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 1.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 1.11.3

式を書き換えます。

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7)}{x^{5}}$

ステップ 1.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7}) - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

ステップ 1.12.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.2.1.1

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

ステップ 1.12.2.1.2

$- 4$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} + 28}{x^{5}}$

ステップ 1.12.2.2

$21 x^{7}$ から $12 x^{7}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{9 x^{7} + 28}{x^{5}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = 9 x^{7} + 28$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $9 x^{7} + 28$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]$ です。

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.2.3

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{7}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ です。

$\frac{x^{5} (9 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.2.4

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{5} (9 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.2.5

$7$ に $9$ をかけます。

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.2.6

$28$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $28$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + 0) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.2.7

$63 x^{6}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{5} (63 x^{6}) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.3

指数を足して $x^{5}$ に $x^{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$x^{6}$ を移動させます。

$\frac{x^{6} x^{5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{6 + 5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.3.3

$6$ と $5$ をたし算します。

$\frac{x^{11} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.4

$63$ を $x^{11}$ の左に移動させます。

$\frac{63 \cdot x^{11} - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.5

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{63 x^{11} - (9 x^{7} + 28) (5 x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 2.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2

$x^{4}$ を $63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$x^{4}$ を $63 x^{11}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.2

$x^{4}$ を $- 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.3

$x^{4}$ を $x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

ステップ 2.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$x^{4}$ を $x^{10}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 2.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 2.7.3

式を書き換えます。

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28)}{x^{6}}$

ステップ 2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7}) - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

ステップ 2.8.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1.1

$9$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

ステップ 2.8.2.1.2

$- 5$ に $28$ をかけます。

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 140}{x^{6}}$

ステップ 2.8.2.2

$63 x^{7}$ から $45 x^{7}$ を引きます。

$\frac{18 x^{7} - 140}{x^{6}}$

ステップ 2.8.3

$2$ を $18 x^{7} - 140$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.3.1

$2$ を $18 x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{2 (9 x^{7}) - 140}{x^{6}}$

ステップ 2.8.3.2

$2$ を $- 140$ で因数分解します。

$\frac{2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)}{x^{6}}$

ステップ 2.8.3.3

$2$ を $2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (9 x^{7} - 70)}{x^{6}}$

微分積分 例

微分積分例