微分積分例

$y = \sin (x) + \tan (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\sin (x) + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$f' (x) = \cos (x) + \sec^{2} (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\cos (x) + \sec^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$- \sin (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$- \sin (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 2.3.3

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

ステップ 2.3.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

ステップ 2.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sin (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

ステップ 2.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

項を並べ替えます。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

ステップ 2.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \sin (x)$

ステップ 2.4.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

ステップ 2.4.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

ステップ 2.4.2.4

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

ステップ 2.4.2.5

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

ステップ 2.4.2.6

まとめる。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \sin (x)$

ステップ 2.4.2.7

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.7.1

$\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

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ステップ 2.4.2.7.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \sin (x)$

ステップ 2.4.2.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \sin (x)$

ステップ 2.4.2.7.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \sin (x)$

ステップ 2.4.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$\cos (x)$ を $\cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \sin (x)$

ステップ 2.4.3.2

分数を分解します。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

ステップ 2.4.3.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

ステップ 2.4.3.4

$1$ を掛けます。

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \sin (x)$

ステップ 2.4.3.5

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

ステップ 2.4.3.6

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

ステップ 2.4.3.7

$2$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

微分積分 例

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